ЕГЭ по математике. Теория чисел. Задача С6

Экзамены уже через 2 месяца…

Математику сдают абсолютно все одиннадцатиклассники, поэтому нужно усиленно готовиться. По-моему мнению, одной из самых сложных задач в ЕГЭ по математике является задача С6, которая посвящена теории чисел.

Предоставляю Вам решение одной из таких задач.

Найдите сумму всех трёхзначных чисел вида n, для которых n² начинается и заканчивается на цифру 1

---

Решение:
1) Во-первых, число n обязательно должно заканчиваться на 1 или 9 (1² = 1, 9² = 81)
2) Теперь постараемся определить, на какую же цифру n может начинаться.

Существует несколько случаев для n²

• 10000 < n² < 20000 ⇒ 100 < n < 100√2 ⇒ 100 < n < 141,4
  
• 100000 < n² < 200000 ⇒ 100√10 < n < 100√20 ⇒ 316 < n < 447
  

При других значениях n², число n не будет являться трёхзначным или же n² не будет начинаться (заканчиваться) на 1.
3) Ну, теперь займёмся подсчётом.
Будем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

(а₁ + аռ)·n/2

а) (101 + 111 + 121 + 131 + 141) + (109 + 119 + 129 + 139) =
= (101 + 141)·5/2 + (109 + 139)·4/2 = 605 + 496 = 1101
б) (321 + 331 + … + 441) + (319 + 329 + … + 439) = (321 + 441)·13/2 + (319 + 439) ·13/2 =
= ((321 + 439) + (441 + 319))·13/2 = (760 + 760)·13/2 = 760·13 = 9880
в) 9880 + 1101 = 10981

Ответ: 10981