Иррациональное уравнение

Решим иррациональное уравнение   √((x² + 4)·(x + 24)) = 5·x + 2·√(x − 1)



Область допустимых значений   x ≥ 1.
Конечно же, уравнение можно решить, дважды возведя обе его части в квадрат (после приведения подобных слагаемых), избавляясь таким образом от иррациональности. Но мы призовём на помощь векторную алгебру.
Пусть левая часть уравнения представляет собою произведение модулей векторов   a   и   b:   |a|·|b|, а правая — их скалярное произведение:   a·b.
Равенство выполняется в том случае, если векторы   a   и   b   коллинеарны и сонаправлены:   a↑↑b.
Координаты векторов:   a = {a₁, a₂},   b = {b₁, b₂}.
Составим систему уравнений для определения координат векторов:

{a² = a₁² + a₂² = x² + 4
{b² = b₁² + b₂² = x + 24
{a·b = a₁·b₁ + a₂·b₂ = 5·x + 2·√(x − 1)

Система из трёх уравнений содержит четыре неизвестных, но решается она устно. Полагая   a₁ = x, получим:   a₂ = 2,   b₁ = 5,   b₂ = √(x − 1).
Тогда   a = {x, 2},   b = {5, √(x − 1)}.
Поскольку   a↑↑b, то соответствующие координаты векторов пропорциональны, откуда (согласно свойству пропорции)   x·√(x − 1) = 5·2 = 10.
Последнее полученное нами уравнение эквивалентно исходному на множестве действительных чисел. Левая часть уравнения — монотонно возрастающая функция при
x ≥ 1, правая часть — постоянная величина. Уравнение имеет единственное решение, и это решение очевидно (в подобных задачах допустимо его «угадать»):   x = 5.

Ответ:   x = 5.