Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

понедельник, 8 марта 2010 г.

Задача з фізики. Механіка. Динаміка. Рух по похилій площині

Тіло, сила тяжіння якого P = 1 кН, лежить на похилій шорсткій площині, нахиленій під кутом α = 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання f = 0,1. Яку найменшу силу F потрібно прикласти до тіла, щоб протягнути його вгору по площині?

Аналіз

Оскільки в задачі йдеться про найменшу (мінімальну) силу, — ця сила не обов'язково має бути спрямована вздовж похилої площини.
Позначимо через β кут між напрямком сили та площиною. Найменшій силі F відповідатиме рух тіла по площині зі сталою швидкістю без прискорення. Такий рух описується першим законом Ньютона.
Тіло рівномірно рухається вгору по похилій площині під дією активної сили F, спрямованої під кутом β до площини, сили тяжіння P, спрямованої вертикально вниз, нормальної реакції площини N, перпендикулярної до площини і сили тертя ковзання Φ, спрямованої вздовж площини протилежно переміщенню тіла.
Складемо векторне рівняння першого закону Ньютона для рівномірного руху тіла.
FPNΦ = 0

Спрямуємо координатну вісь x вгору вздовж похилої площини, а вісь y — вгору перпендикулярно до площини. Спроектуємо векторну рівність на координатні вісі, враховуючи, що:

Fₓ = F·cos β;   Pₓ = –P·sin α;   Nₓ = 0;   Φₓ = –Φ
Fy = F·sin β;   Py = –P·cos α;   Ny = N;   Φy = 0
.

{F·cos β – P·sin α – Φ = 0
{F·sin β – P·cos α + N = 0
  (1)
(2)

З рівняння (2)   N = P·cos α – F·sin β.

Згідно закону Кулона-Амонтона сила тертя ковзання дорівнює:

Φ = f·N = f·P·cos α – f·F·sin β.

Підставимо вираз для сили тертя ковзання до рівняння (1) та розвяжемо складене рівняння відносно активної сили F:

F·(cos β + f·sin β) – P·(sin α + f·cos α) = 0
F = P·(sin α + f·cos α)/(cos β + f·sin β) → min


Найменше значення виразу досягається при найбільшому значенні знаменника:

cos β + f·sin β → max

Максимум знаменника знайдемо без застосування похідної. Скористаємося методом додаткового кута.

Нехай f = tg φ;   φ — кут тертя. Тоді

cos β + tg φ ·sin β = (cos φ ·cos β + sin φ ·sin β)/cos β = cos(φ – β)/cos β

max cos(φ – β)/cos β = 1/cos β
  при  β = φ;   tg β = tg φ = f

При обчисленні ми скористалися тригонометричною формулою косинуса різниці аргументів.
Можемо зробити висновок про те, що найменша активна сила може бути прикладена під кутом до площини, який дорівнює куту тертя. Зауважимо, що при цьому повинна виконуватися нерівність α + φ ≤ π/2. Якщо нерівність не виконуватиметься — тоді слід прийняти β = π/2 – α, тобто мінімальною сила в такому разі буде, якщо вона спрямована вертикально вгору. Іншими словами, при значному куті тертя тіло легше буде піднімати вертикально вгору, ніж тягти по шорсткій площині.

min F = P·cos φ(sin α + f·cos α)

Виразимо тепер косинус через тангенс, враховуючи, що кут належить першій координатній чверті:

cos φ = 1/√(1 + tg²φ) = 1/√(1 + f²)

Остаточно:

min F = P·(sin α + f·cos α)/√(1 + f²)

Розв'язок

Підставимо числові значення

min F = 1·(sin 30° + 0,1·cos 30°)/√(1 + 0,1²) = ½ (1 + 0,1·√3)/√1,01 = 0,58 кН = 580 Н

Відповідь:   min F = 580 Н

Ключові слова: фізика, механіка, рух, статика, динаміка, сила тертя, рух, похила площина

Комментариев нет:

Отправить комментарий