I = ∫dx/(x² – 2·x + 17)²
Найперше виділимо в знаменнику повний квадрат
x² – 2·x + 17 = (x − 1)² + 4²
Тоді (x² – 2·x + 17)² = ((x − 1)² + 4²)²
I = ∫dx/((x − 1)² + 4²)²
Застосуємо підстановку x − 1 = 4·u; dx = 4·du
Отримаємо:
I = ∫4·du/((4·u)² + 4²)² =
= (¼)³·∫du/(u² + 1)² = ¹/₆₄·∫du/(u² + 1)²
= (¼)³·∫du/(u² + 1)² = ¹/₆₄·∫du/(u² + 1)²
Застосуємо тепер тригонометричну підстановку
u = tg t; du = dt/cos²t; 1/(u² + 1)² = (cos²t)² = cos⁴t
Тоді I = ¹/₆₄·∫cos⁴t·dt/cos²t = ¹/₆₄·∫cos²t·dt
Скористаємося формулою пониження степеню та проінтегруємо.
cos²t = ½·(1 + cos(2·t))
I = ¹/₁₂₈·∫(1 + cos(2·t))·dt =
= ¹/₁₂₈·t + ¹/₂₅₆·sin(2·t) + C =
= ¹/₁₂₈·t + ¹/₂₅₆·sin(2·t) + C =
= ¹/₁₂₈·t + ¹/₁₂₈·sin t·cos t + C =
= ¹/₁₂₈·t + ¹/₁₂₈·tg t/cos²t + C =
= ¹/₁₂₈·t + ¹/₁₂₈·tg t/(tg²t + 1) + C
= ¹/₁₂₈·t + ¹/₁₂₈·tg t/cos²t + C =
= ¹/₁₂₈·t + ¹/₁₂₈·tg t/(tg²t + 1) + C
Застосуємо тепер зворотню підстановку
I = ¹/₁₂₈·arctg u + ¹/₁₂₈·u/(u² + 1) + C =
= ¹/₁₂₈·arctg u + ¹/₃₂·4·u/(16·u² + 16) + C
Остаточно:
I = ¹/₁₂₈·arctg(¼·(x − 1)) + ¹/₃₂·(x − 1)/(x² − 2·x + 17) + C
Комментариев нет:
Отправить комментарий