Інтегрування раціональних виразів. Тригонометрична підстановка

Знайдемо невизначений інтеграл від раціонального дробу

I = ∫dx/(x² – 2·x + 17)²

Найперше виділимо в знаменнику повний квадрат

x² – 2·x + 17 = (x − 1)² + 4²

Тоді     (x² – 2·x + 17)² = ((x − 1)² + 4²)²

I = ∫dx/((x − 1)² + 4²)²

Застосуємо підстановку   x − 1 = 4·u;  dx = 4·du

Отримаємо:

I = ∫4·du/((4·u)² + 4²)² =

= (¼)³·∫du/(u² + 1)² = ¹/₆₄·∫du/(u² + 1)²

Застосуємо тепер тригонометричну підстановку

u = tg t;  du = dt/cos²t;  1/(u² + 1)² = (cos²t)² = cos⁴t

Тоді     I = ¹/₆₄·∫cos⁴t·dt/cos²t = ¹/₆₄·∫cos²t·dt

Скористаємося формулою пониження степеню та проінтегруємо.

cos²t = ½·(1 + cos(2·t))

I = ¹/₁₂₈·∫(1 + cos(2·t))·dt =

= ¹/₁₂₈·t + ¹/₂₅₆·sin(2·t) + C =

= ¹/₁₂₈·t + ¹/₁₂₈·sin t·cos t + C =

= ¹/₁₂₈·t + ¹/₁₂₈·tg t/cos²t + C =

= ¹/₁₂₈·t + ¹/₁₂₈·tg t/(tg²t + 1) + C

Застосуємо тепер зворотню підстановку

I = ¹/₁₂₈·arctg u + ¹/₁₂₈·u/(u² + 1) + C =

= ¹/₁₂₈·arctg u + ¹/₃₂·4·u/(16·u² + 16) + C

---

Остаточно:

I = ¹/₁₂₈·arctg(¼·(x − 1)) + ¹/₃₂·(x − 1)/(x² − 2·x + 17) + C