Диференційне рівняння, що зводиться до однорідного з відокремлюваними змінними

Розвяжемо диференційне рівняння

y′ = dy/dx = 2·((y + 2)/(y + x − 1))²

Обернемо дроби. При цьому знаменник правої частини рівняння лінійно залежатиме лише від x. Після цього виділимо в дробу «цілу» частину.

2·dx/dy = ((y + x − 1)/(y + 2))² = (1 + (x − 3)/(y + 2))²

Підстановка, за допомогою якої диференційне рівняння зводиться до однорідного, стає очевидною:

u = x − 3;   v = y + 2;   dx/dy = du/dv

Однорідне диференційне рівняння запишеться у вигляді:

2·du/dv = (1 + u/v)²

За допомогою підстановки   t = u/v;   u = t·v   однорідне диференційне рівняння зводиться до диференційного рівняння з відокремлюваними змінними.

За правилом диференціювання добутку   du/dv = d(t·v)/dv = v·dt/dv + t

Тоді   2·v·dt/dv + 2·t = (1 + t)² = 1 + 2·t + t²


2·v·dt/dv = 1 + t²

Відокремимо змінні та проінтегруємо.

2·dt/(1 + t²) = dv/v


2·∫dt/(1 + t²) = ∫dv/v


2·arctg t = ln|C·v|


Повертаючися до початкових змінних, отримаємо загальний інтеграл диференційного рівняння:

2·arctg((x − 3)/(y + 2)) = ln|C·(y + 2)|