Фізика. Закон Ома. Потужність постійного струму

В нагрівачі, підключеному до акумулятора з ЕРС 12 В і внутрішнім опором 0,2 Ом, виділяється теплова потужність, яка дорівнює 100 Вт. При цьому ККД акумулятора більший за 50%. Колі спіраль перегоріла, до акумулятора підключили частину спіралі, що залишилася цілою (f = 0,8).
У скільки разів зміниться при цьому потужність в нагрівачі та ККД акумулятора?

---

E = 12 В — електрорушійна сила (ЕРС) акумулятора
r = 0,2 Ом — внутрішній опір акумулятора
P₁ = 100 Вт — початкова теплова потужність нагрівача
η₁ > 0,5 — початковий коефіцієнт корисної дії (ККД)
f = 0,8 — частина спіралі нагрівача, яка залишилася після перегорання

---

P₂/P₁ — ? — зміна потужності нагрівача
η₁/η₂ — ? — зміна коефіцієнта корисної дії

Розв'язок

Позначимо через R початковий електричний опір спіралі, I — силу струму в колі.

Оцінимо спершу коефіцієнт корисної дії акумулятора, який дорівнює відношенню корисної потужності (тої, яка споживається нагрівачем) до повної потужності (яка віддається акумулятором).

Корисна потужність P = I²·R

Повна потужність дорівнює I²·(R + r), де R + r — повний опір електричного кола.

Знайдемо відношення

η₁ = (I²·R)/(I²·(R + r)) = R/(R + r) = 1/(1 + r/R) > ½ за умовою.

Тоді 1 + r/R < 2 ⇒ r/R < 1 ⇒ R > r

Ми з'ясували, що початковий опір спіралі нагрівача більший за внутрішній опір акумулятора.

Виразимо тепер початковий опір спіралі нагрівача, знаючи його теплову потужність.

Згідно закону Ома для повного кола струм в колі I = E/(R + r).

Тоді теплова потужність нагрівача

P₁ = I²·R = E²·R/(R + r)²

Складемо квадратне рівняння і розв'яжемо його відносно R > r

P₁·R² – (E² – 2·P₁·r)·R + P₁·r² = 0

Дискримінант квадратного рівняння

D = (2·P₁·r – E²)² – 4·P₁²·r² = E⁴ – 4·P₁·r·E² = E²·(E² – 4·P₁·r)

Корені квадратного рівняння

R = (E² – 2·P₁·r ± E·√(E² – 4·P₁·r))/(2·P₁) = E·(E ± √(E² – 4·P₁·r))/(2·P₁) – r

Фізичний смисл за умови η₁ > 0,5 має більший з коренів квадратного рівняння. Можна показати, що найбільша потужність у зовнішньому колі виділяється в режимі узгодження (за умови рівності зовнішнього і внутрішнього опорів). ККД при цьому дорівнює 50%.

В режимах холостого ходу та короткого замикання потужність у зовнішньому колі дорівнює нулю.

Знайдемо початковий опір спіралі нагрівача, беручи у формулі знак «+»

R = 12·(12 + √(12² – 4·100·0,2))/(2·100) – 0,2 = 3·(12 + √(144 – 80))/50 – 0,2 =
= 3·(12 + √64)/50 – 0,2 = 3·(12 + 8)/50 – 0,2 =3·20/50 – 0,2 = 6/5 – 0,2 = 1,2 – 0,2

R = 1 Ом

Тепер можемо знайти відношення потужностей і коефіцієнтів корисної дії. Після укорочення спіралі ії електричний опір становить R₂ = f·R.

Потужність нагрівача P₂ = E²·f·R/(f·R + r)²

Відношення потужностей

P₂/P₁ = E²·f·R/(f·R + r)²/(E²·R/(R + r)²) = f·((R + r)/(f·R + r))²

Коефіцієнт корисної дії акумулятора η₂ = f·R/(f·R + r)

Відношення ККД

η₁/η₂ = R/(R + r)/(f·R/(f·R + r)) = (f·R + r)/(f·(R + r))

Підставимо числові значення

P₂/P₁ = 0,8·((1 + 0,2)/(0,8·1 + 0,2))² = 0,8·(1,2/1)² = 1,152

η₁/η₂ = (0,8·1 + 0,2)/(0,8·(1 + 0,2)) = 1/0,96 ≈ 1,04

Відповідь: після укорочення спіралі потужність нагрівача зросла в 1,152 рази, а коефіцієнт корисної дії акумулятора — зменшився в 1,04 рази.