Система уравнений. Математика. Подготовка к ЗНО, ЕГЭ

Найти наибольшее значение x + y, где (x, y) — решение системы.

{x² – 2xy + y² = xy + 1
{x – y = 2

Начнём с внимательного прочтения условия задачи. Искать решения системы не требуется. Достаточно лишь показать, что решения существуют. Будем по возможности сразу сразу решать систему относительно суммы x + y.
Левая часть первого уравнения системы представляет собою полный квадрат. Возведём в квадрат второе уравнение и приравняем правые части обоих уравнений.

{x² – 2xy + y² = xy + 1 {x² – 2xy + y² = 2² = 4

⇒

{xy + 1 = 4 {x² – 2xy + y² = 4

⇒

{xy = 3
{x² – 2xy + y² = 4

Прибавим теперь ко второму уравнению образовавшейся системы умноженное на 4 первое уравнение, затем выделим в получившемся уравнении полный квадрат.

x² + 2xy + y² = 4 + 4·3 = 16  ⇒  (x + y)² = 4²  ⇒  x + y = ±4

Наибольшим является положительное значение.

Ответ: max (x + y) = 4