tag:blogger.com,1999:blog-1118230355910989682024-03-19T12:47:40.325+02:00Помощь студенту — практические примеры, задачи, теория<big><center><b>Приветствуем Вас на сайте!</b></center></big><center>Здесь Вы можете ознакомиться с подробными решениями задач по <b>физике, математике, экономике, химии.</b> В открытом доступе имеются примеры заданий гуманитарных дисциплин — <b>английский, история, МХК</b> и др.
Грамотные преподаватели в режиме обсуждения на сайте готовы <b>бесплатно</b> консультировать Вас по интересным (с нашей точки зрения) задачам.</center>Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.comBlogger128125tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-5281902541822394032013-07-27T22:47:00.002+03:002013-07-28T00:15:45.424+03:00Дифференциальные уравнения. No 1<div style="text-align: justify; text-indent: 40px;">Для многих новоиспеченных студентов до самых первых пар остается загадкой, что скрывает в себе этот страшный предмет «матан». Что таят в себе неведомые «диффуры»?… В сегодняшней статье мы немного расскажем вам о дифференциальных уравнениях, дабы в будущем они вас не пугали, и вы щелкали задачи на семинарах, зачетах и экзаменах по математическому анализу как орешки.</div><a name='more'></a><br />
<p>На обычных школьных уроках математики каждый из нас сталкивался с уравнениями. Что же такое дифференциальное уравнение? <b>Это уравнение, которое содержит в себе как значение производной функции, так и саму функцию и(или) независимую переменную и (или) параметр</b>. В теоретическом аспекте есть и нюансы: например, не каждое уравнение, содержащее производную функции, будет называться дифференциальным. Но сегодня мы остановимся на практических сторонах вопроса: разберем методы решения стандартных типов дифференциальных уравнений различного порядка.<br />
<br />
<b>1) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными</b><br />
Рассмотрим уравнение:<br />
(x² − 1)⋅y' + 2⋅x⋅y² = 0<br />
<!--more--><br />
<br />
Перед нами дифференциальное уравнение. Оно содержит производную функции у, саму функцию у, а также независимую функцию х. Более того, данное уравнение является дифференциальным уравнением определенного вида — уравнением с разделяющимися переменными. Это значит, что путем преобразований данное уравнение можно привести к такому виду, что все вариации функции у окажутся с одной стороны от знака равно, а все вариации функции х — с другой стороны:<br />
<br />
(x² − 1)⋅dy/dx + 2⋅x⋅y² = 0<br />
(x² − 1)⋅dy = −2⋅x⋅y²⋅dx<br />
dy/(y²) = − 2⋅x⋅dx/(x² − 1)<br />
<br />
Итак, переменные разделены. Следующим шагом является интегрирование: интегрируем обе части уравнения. Получаем следующее равенство:<br />
<br />
∫(dy/(y²)) = − ∫ (2⋅x⋅dx/(x² − 1))<br />
∫(dy/(y²)) = ∫(y<sup>-2</sup>dy) = y<sup>-1</sup>/(-1) + C<sub>1</sub> = −1/y + C<sub>1</sub><br />
<br />
Для правой части проведем некоторые преобразования. 2х - это производная функции х² по х. Поэтому можем переписать:<br />
− ∫ (2⋅x⋅dx/(x² − 1)) = − &int (d(х²)/(x² − 1))<br />
<br />
Кроме этого, производная константы равна нулю, а производная суммы - сумме поизводных, поэтому:<br />
− ∫ (d(х²)/(x² − 1)) = − &int (d(х² − 1)/(x² − 1)) = − ln|x² − 1| + C<sub>2</sub><br />
<br />
−1/y + C<sub>1</sub> = − ln|x² − 1| + C<sub>2</sub><br />
1/y = ln|x² − 1| + C<br />
y = 1/(ln|x² − 1| + C)<br />
<br />
Последняя запись является решением дифференциального уравнения в общем виде. Но! Есть некоторые особенности.<br />
<b>Примечание 1.</b> Когда мы приводили первоначальное уравнение к удобному для решения виду, мы делили уравнение на множитель y²⋅(x² − 1). Поэтому мы могли потерять решения уравнения, такие как y = 0 или х = ± 1<br />
При х = ± 1 уравнение принимает вид:<br />
± 2⋅y² = 0, получаем, что y = 0.<br />
При у = 0 получаем:<br />
0 = 0.<br />
Поэтому {у = 0, х ∈ R} - также является решением дифференциального уравнения.<br />
<br />
<b>Примечание 2.</b> Найденное решение является решением в общем виде. Задание может быть сформулировано более подробно. Например, даны начальные условия, как то: <br />
у(0) = 1<br />
<br />
С помощью этого условия мы можем найти параметр С, который в общем решении можем принимать любое действительное значение, что позволяет записать все семейство решений дифференциального уравнения в одну строчку. Но в случае начальных условий:<br />
y = 1/(ln|0 − 1| + C) = 1/C = 1<br />
C = 1<br />
<br />
Итак, решение уравнения с учетом примечаний №1 и №2 выглядит следующим образом:<br />
y = 1/(ln|x² − 1| + 1), у = 0.<br />
<br />
<br />
<b>2) Однородные дифференциальные уравнения</b><br />
Однородными дифференциальными уравнениями называются уравнения вида: <br />
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, где M, N - однородные функции одной степени. У читателя может возникнуть вопрос - что такое однородные функции? По определению, функция М является однородной, если для любого положительного числа p и любого натурального числа k выполняется равенство:<br />
M(px, py) = p<sup>k</sup>⋅M(x, y)<br />
<br />
После простых преобразований однородное дифференциальное уравнение сводится к виду:<br />
dy/dx = f(y/x)<br />
<br />
К однородным сводятся дифференциальные уравнения вида:<br />
dy/dx = f[(a<sub>1</sub>x + b<sub>1</sub> + c<sub>1</sub>)/(a<sub>2</sub>x + b<sub>2</sub> + c<sub>2</sub>)]<br />
<br />
Более внимательно вглядимся в вид выражения в квадратных скобках. Числитель и знаменатель представлены уравнением прямой. Очевидно, что данная вариация однородного дифференциального уравнения может быть разрешена по двум направлениям: прямые пересекаются (а) или не пересекаются (б). Итак, ниже мы рассмотрим ТРИ вида однородных дифференциальных уравнений. А также - один бонусный пример с не самой стандартной заменой.<br />
<br />
<b>2а)</b> (x + 2y)⋅dx - x⋅dy = 0<br />
Видим, что в данном дифференциальном уравнении перед дифференциалами стоят многочлены первой степени. Значит, уравнение является однородным. Сделаем стандартную замену: y = kx. Тогда dy = k⋅dx + x⋅dk<br />
(x + 2⋅k⋅x)⋅dx - x⋅(k⋅dx + x⋅dk) = 0<br />
(x + k⋅x)⋅dx - x²⋅dk = 0<br />
(1 + k)⋅x⋅dx = x²⋅dk = 0<br />
(1/x)dx = [1/(1 + k)]dk<br />
<br />
Получили уже знакомое нам уравнение с разделяющимися переменными. Решим его взятием интеграла:<br />
∫[(1/x)dx] = ∫[(1/(1 + k))dk]<br />
ln|x| = ln|1 + k| + C<sub>1</sub><br />
ln|x| = ln|1 + y/x| + C<sub>1</sub><br />
x = C⋅(1 + y/x)<br />
x² = C⋅x + y<br />
y = x² − C⋅x<br />
<br />
В ходе решения мы делили уравнение на (1 + k) = 1 + y/x и х. <br />
При 1 + y/x = 0, то есть y = -x. <br />
−(-у + 2y)⋅dy + y⋅dy ≡ 0<br />
<br />
При х = 0:<br />
0 - 0 = 0<br />
<br />
Ответ: y = x² − C⋅x, y = -x, х = 0.<br />
<br />
<b>2б)</b> dy/dx = 2⋅[(y + 2)/(x + y − 1)]²<br />
Необходимо определить, пересекаются ли прямые y + 2 = 0 и x + y − 1 = 0. Прямые параллельны, если имеют соответственно равные коэффициенты перед у и х. В жанном случае это не так, поэтому прямые пересекаются. Комментарий к предстоящей замене: нам необходимо параллельным переносом перенести начало координат в точку пересечения прямых.<br />
y + 2 = x + y − 1<br />
x = 3<br />
y = -2<br />
<br />
Замена: u = x − 3, v = y + 2<br />
Подставим:<br />
dv/du = 2⋅[v/(u + v)]² = 2⋅[1/(u/v + 1)]²<br />
<br />
Замена:<br />
v = ku, тогда dv = k⋅du + u⋅dk<br />
(k⋅du + u⋅dk)/du = 2⋅[k/(1 + k)]²<br />
u⋅dk/du = 2⋅[k/(1 + k)]² − k<br />
du/u = dk/[2⋅(k/(1 + k))² − k]<br />
<br />
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его взятием интеграла:<br />
∫ [dk/[2⋅(k/(1 + k))² − k]] = ∫[((1 + k)²dk)/(2k² − k⋅(1 + k)²)] = [(1 + k)²dk/(-k⋅(1 + k²))] <br />
<br />
После деления на (1 + k²) получим:<br />
[(1 + k)²dk/(-k⋅(1 + k²))] = − ∫(dk/k) −2⋅∫[dk/(1 + k²)] = −ln|k| −2⋅arctg(k) + C<sub>1</sub><br />
<br />
∫[du/u] = ln|u| + C<sub>2</sub><br />
<br />
ln|u| = −ln|k| −2⋅arctg(k) + C<sub>3</sub><br />
u = 1/[C⋅k⋅e<sup>2⋅arctg(k)</sup>]<br />
C⋅u⋅k⋅e<sup>2⋅arctg(k)</sup> = 1<br />
C⋅u⋅k⋅e<sup>2⋅arctg(k)</sup> = C⋅v⋅e<sup>2⋅arctg(v/u)</sup> = C⋅(y + 2)⋅e<sup>2⋅arctg((y + 2)/(x − 3))</sup> = 1<br />
<br />
Итак, общее решение: C⋅(y + 2)⋅e<sup>2⋅arctg((y + 2)/(x − 3))</sup> = 1<br />
<br />
<b>2в)</b> Теперь рассмотрим аналогичный пример, в котором прямые параллельны.<br />
dy/dx = 2⋅[(x + y + 2)/(x + y − 1)]²<br />
<br />
Замена: х + у = z<br />
dz = dx + dy<br />
(dz − dx)/dx = 2⋅[(z + 2)/(z − 1)]²<br />
dz/dx = 2⋅[(z + 2)/(z − 1)]² + 1<br />
dz/[2⋅[(z + 2)/(z − 1)]² + 1] = dx<br />
<br />
Дальнейшие преобразования опустим, так как суть метода замены в случае параллельных прямых мы уже передали.<br />
<br />
<b>2г)</b> БОНУС! Могли бы вы предположить, но уравнение следующего вида:<br />
2x²y' = y³ + xy<br />
при удачном сложении обстоятельств также можно свести к однородному уравнению!<br />
<br />
Замена: у = z<sup>m</sup><br />
<br />
2⋅m⋅x²⋅z<sup>m-1</sup>z' = z<sup>3m</sup> + x⋅z<sup>m</sup><br />
Для того, чтобы уравнение стало однородным, необходимо и достаточно, чтобы<br />
2 + m − 1 = 3m = 1 + m<br />
<br />
Отсюда следует, что m = 1/2. Получаем:<br />
<br />
(x²/√z)z' = z<sup>3/2</sup> + x⋅z<sup>1/2</sup><br />
<br />
Замена: x = tz, dx = t⋅dz + z⋅dt<br />
После преобразований получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:<br />
− t⋅dz = (1 + t)⋅z⋅dt<br />
(-1/z)dz = (1/t + 1)dt<br />
− ln|z| = ln|t| + t + C<sub>1</sub><br />
C<sub>2</sub> = z⋅t⋅e<sup>t</sup><br />
C<sub>2</sub> = (y<sup>2</sup>)⋅(x⋅y<sup>-2</sup>)⋅e<sup>t</sup><br />
C<sub>2</sub> = x⋅e<sup>t</sup><br />
C = ln|x| + x⋅y<sup>-2</sup><br />
y = √[x/ln|Сx|]<br />
<br />
В ходе решения мы делили на z, х. При х = 0, у = 0, что соответствует полученному ответу. Однако при у = 0 х может принимать любые значения, поэтому отдельно отметим, что у = 0 при х ∈ R.<br />
<br />
<b></b><br />
<center><b>Удачи в решении однородных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными!</b></center></p><br />
<br />
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-33045271117121900722013-01-11T03:23:00.002+02:002013-01-11T03:23:41.624+02:00Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядкаНайти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка<br />
y''·(x + cos x) − y'·(1 − sin x) = (x + cos x)² при начальных условиях y(0) = y'(0) = 1<br />
<a name='more'></a><br />
Данное уравнение допускает понижения порядка: y' = p(x) и может быть решено путём подстановки p = u·v. Затем интеграл берётся повторно и ищутся постоянные интегрирования. Внимательный анализ конкретной задачи показывает, что она может быть решена другим, более рациональным способом.<br />
Учитывая, что (x + cos x)' = 1 − sin x, запишем:<br />
<br />
y''·(x + cos x) − y'·(x + cos x) = (x + cos x)²<br />
<br />
Разделив обе части уравнения на (x + cos x)², получим в левой части производную частного:<br />
<br />
(y''·(x + cos x) − y'·(x + cos x))/(x + cos x)² = 1<br />
<br />
(y'/(x + cos x))' = 1<br />
<br />
При x = 0 y'/(x + cos x) = 1<br />
<br />
Интегрируем с учётом начальных условий<br />
<br />
<center><img alt="высшая математика, дифференциальное уравнение, математика, математический анализ" src="https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac{y'}{x%2B\cos{x}}=1%2B\int_0^xdt=x%2B1" title="Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка" /></center><br />
y' = (x + 1)·(x + cos x)<br />
<br />
Интегрируем повторно (по частям) с учётом начальных условий.<br />
<br />
<center><img alt="высшая математика, дифференциальное уравнение, математика, математический анализ" src="http://dlm3.meta.ua/pic/0/82/133/GWT5nY7ejl.gif" title="Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка" /></center><br />
y = ⅓ x³ + ½ x² + (x + 1)·sin x + cos x — частное решение дифференциального уравнения.Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-74127064596834269532013-01-10T00:00:00.000+02:002013-01-10T00:00:21.627+02:00Система иррациональных уравненийРешим систему иррациональных уравнений<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><img alt="алгебра, иррациональное выражение, математика, система уравнений, уравнение" border="0" height="117" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_ZraM09eYLqKLZ0Gxv18bxRJmAnW_zNfjrlvuiQqAu_8ZT8HYEG7n-YsPysVHpHy291dXP1um4Bus-m8LBRzOD1c2GGntULwOgHbBEN8oi_psR0tNFMmhcbr8xJIEQwBSvotPzJSX3LU/s200/i-5%255B1%255D.gif" title="система иррациональных уравнений" width="200" /></div><br />
{∛x − ∛y = 2<br />
{x − y = 56<br />
<a name='more'></a><br />
Поскольку извлекаются корни нечётной (третьей) степени — ограничений на допустимые значения неизвестных нет.<br />
Сделаем подстановку x = u³, y = −v³<br />
<br />
{u + v = 2<br />
{u³ + v³ = 56<br />
<br />
Знак «минус» позволил нам получить симметричную систему уравнений. Это значит, что если (u; v) — решение системы, то (v; u) — тоже решение системы уравнений.<br />
Разложим левую часть второго уравнения по формуле суммы кубов.<br />
<br />
{u + v = 2<br />
{(u + v)·(u² − u·v + v²) = 56<br />
<br />
Разделим теперь почленно второе уравнение системы на первое.<br />
<br />
{u + v = 2<br />
{u² − u·v + v² = 28<br />
<br />
Возведём обе части первого уравнения в квадрат и вычтем из него почленно второе уравнение.<br />
<br />
{u + v = 2<br />
{(u + v)² − (u² − u·v + v²) = 2² − 28<br />
<br />
{u + v = 2<br />
{(u² + 2·u·v + v²) − (u² − u·v + v²) = 4 − 28<br />
<br />
{u + v = 2<br />
{3·u·v = −24<br />
<br />
{u + v = 2<br />
{u·v = −8<br />
<br />
(u; v) — корни квадратного уравнения t² + 2·t − 8 = 0<br />
Найдём их по теореме Виета:<br />
<br />
(u; v) = {(−2; 4), (4; −2)}<br />
<br />
Решение исходной системы уравнений:<br />
<br />
(x; y) = {(−8; −64), (64; 8)}Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-87572315743055436262013-01-02T02:56:00.000+02:002013-01-02T02:56:47.534+02:00Линейные дифференциальные уравнения первого порядкаРассмотрим примеры решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.<br />
<br />
Пример 1<br />
Найти общее решение дифференциального уравнения<br />
y' + y·tg x = cos x<br />
<a name='more'></a><br />
Дифференциальное уравнение неоднородное, его правая часть не равна нулю. Решение такого уравнения обычно ищут в виде произведения двух функций:<br />
y(x) = u(x)·v(x)<br />
Некоторые умудряются использовать метод вариации произвольной постоянной. Действительно, u(x) является варьируемой постоянной, а v(x) — решением соответствующего однородного уравнения. Метод же вариации произвольной постоянной, используемый в явном виде, пригоден для решения дифференциальных уравнений высших порядков, но не совсем уместен для решения дифференциальных уравнений первого порядка. Зачем из пушки по комарам палить?<br />
Попытаемся найти общее решение уравнения, применяя известные нам формулы дифференцирования. Будем исходить из предположения, что однородные дифференциальные уравнения первого порядка мы решать уже умеем.<br />
Представив tg x = sin x/cos x, приведём левую часть дифференциального уравнения к общему знаменателю.<br />
y' + y·sin x/cos x = (y'·cos x + y·sin x)/cos x = (y'·cos x − y·(cos x)')/cos x = cos x<br />
Разделив обе части уравнения на cos x, получим в левой части производную частного:<br />
(y'·cos x − y·(cos x)')/cos² x = (y/cos x)' = 1<br />
Интегрируем: y/cos x = ∫dx = x + C, откуда<br />
y = (x + C)·cos x — общее решение уравнения.<br />
<br />
Пример 2<br />
Найти частное решение дифференциального уравнения<br />
y' + y·tg x = 2·x/cos x; y(0) = 0<br />
Разделим обе части уравнения на cos x, получив в левой части производную частного:<br />
(y/cos x)' = 2·x/cos² x<br />
Проинтегрируем с учётом начальных условий: при x = 0 y/cos x = 0<br />
Учитывая вид подынтегральной функции, интегрировать будем по частям.<br />
<br />
<center>
<img alt="высшая математика, дифференциальное уравнение, математический анализ" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiUJnHs3QXNp-gk5hiGC0jtsY9pNVs6oDNrC_xbYGnwy16eLarxbEDm-ZOtcml_nEjSwVfa9mXmb4zuURcBlMc8aDAX64E5g5FOX5k8BtWhDiceztV5UjVUTe6nHd94VHHxLHh24SsbRw/s1600/28920498%255B1%255D.gif" title="Линейные дифференциальные уравнения первого порядка" /></center>
<br />
y = 2·cos x·(x·tg x + ln|cos x|) = 2·(x·sin x + cos x·ln|cos x|) — частное решение дифференциального уравнения.Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-23051604839663074412013-01-01T01:12:00.001+02:002013-01-01T01:12:26.694+02:00Цилиндр наибольшего объёма. Задача на экстремумНайти радиус основания r и высоту h цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар заданного радиуса R.<br />
<a name='more'></a>Объём V цилиндра с заданными радиусом основания и высотой выражается формулой:<br />
V = π·r²·H<br />
Осевым сечением вписанного цилиндра будет прямоугольник с основанием 2·r, высотой H и диагональю 2·R.<br />
Рассмотрим несколько способов решения задачи.<br />
Выразим квадрат радиуса основания цилиндра через его высоту и радиус описанного шара по теореме Пифагора:<br />
r² = R² − (H/2)²<br />
Зависимость объёма вписанного цилиндра от искомой высоты принимает вид:<br />
V(H) = π·(R² − (H/2)²)·H = ¼ π·(4·R² − H²)·H = ¼ π·(4·R²·H − H³) (0 < H < 2·R)<br />
Продифференцируем полученную функцию V(H). Из геометрических соображений она имеет единственный максимум на области определения.<br />
V'(H) = ¼ π·(4·R² − 3·H²) = 0 при H = 2·R/√3<br />
При этом r² = 2·R²/3; r = R·√(2/3)<br />
Наибольший объём цилиндра<br />
max V = π·(2·R²/3)·2·R/√3 = 4·π·R³/(3·√3) = 4·√3·π·R³/9<br />
<br />
Второй способ.<br />
Обратимся к тригонометрии.<br />
Обозначим через φ угол между диагональю и высотой осевого сечения цилиндра. Тогда радиус основания и высота цилиндра равны соответственно:<br />
r = R·sin φ; H = 2·R·cos φ<br />
Объём цилиндра V = π·r²·H = 2·π·R³·sin² φ·cos φ<br />
Или, применяя основное тригонометрическое тождество,<br />
V = 2·π·R³·(1 − cos² φ)·cos φ<br />
Воспользуемся подстановкой t = cos φ (0 < t < 1) и найдём максимум функции V(t).<br />
V(t) = 2·π·R³·(1 − t²)·t = 2·π·R³·(t − t³)<br />
V'(t) = 2·π·R³·(1 − 3·t²) при t = cos φ = 1/√3<br />
При этом sin φ = √(2/3); r = R·√(2/3); H = 2·R/√3<br />
max V = 4·√3·π·R³/9<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<noindex><a href="http://text.ru/text_check/result/50e219e76a9cf" rel="nofollow" target="_blank"><img alt="TEXT.RU - 100.00%" border="0" height="31" src="http://text.ru/image/get/50e219e76a9cf/15" title="Текст на данной странице является первоисточником. Уникальность данного текста проверена через TEXT.RU " width="88" /></a></noindex></div>
Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-13616143919375987342012-12-31T02:15:00.000+02:002012-12-31T02:15:19.039+02:00Рациональное уравнениеРассмотрим решение рационального уравнения<br />
(2·x² − 3·x + 1)·(2·x² + 5·x + 1) = 9·x²<br />
<a name='more'></a><br />
Ошибкой было бы раскрытие скобок и нахождение корней уравнения четвёртой степени.<br />
Уравнение можно также решить, разделив обе его части на x² ≠ 0 и применив подстановку t = 2·x + 1/x. Но можно обойтись и без подстановки.<br />
Найдём устно полусумму множителей в левой части и применим <i>формулу разности квадратов</i>.<br />
(2·x² + x + 1 − 4·x)·(2·x² + x + 1 + 4·x) = 9·x²<br />
(2·x² + x + 1)² − (4·x)² = 9·x²<br />
(2·x² + x + 1)² − 16·x² = 9·x²<br />
Перенесём всё в левую часть и применим <i>формулу разности квадратов</i> повторно.<br />
(2·x² + x + 1)² − (16 + 9)·x² = 0<br />
(2·x² + x + 1)² − 25·x² = 0<br />
(2·x² + x + 1)² − (5·x)² = 0<br />
(2·x² + x + 1 + 5·x)·(2·x² + x + 1 − 5·x) = 0<br />
(2·x² + 6·x + 1)·(2·x² − 4·x + 1) = 0<br />
Дальнейшее разложение левой части на множители не составит труда. Сделаем это почти устно, не применяя в явном виде <i>формулу нахождения корней квадратного уравнения</i>.<br />
(4·x² + 12·x + 2)·(x² − 2·x + ½) = 0<br />
(4·x² + 12·x + 9 − 7)·(x² − 2·x + 1 − ½) = 0<br />
((2·x + 3)² − 7)·((x − 1)² − ½) = 0<br />
<br />
Исходное уравнение имеет четыре различных действительных корня:<br />
x = {−½(3 ± √7); 1 ± √½}Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-23316840228609235582012-11-15T22:03:00.000+02:002012-11-15T22:03:19.026+02:00Эффект Допплера<div style="text-align: justify; text-indent: 40px;">
Пусть в упругой среде на некотором расстоянии от источника волн располагается воспринимающее колебания среды устройство, которое мы будем называть приёмником. Когда источник и приёмник волн неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых приёмником, будет равна частоте f колебаний источника. Если же источник или приёмник либо оба они движутся относительно среды, то частота f', воспринимаемая приёмником, может оказаться отличной от f. Это явление называется <i>эффектом Допплера</i>.</div>
<div style="text-align: center;">
Решим задачу.</div>
<div style="text-align: justify; text-indent: 40px;">
Наблюдатель, стоящий у полотна железной дороги, слышит гудок проходящего поезда. Когда поезд приближается, частота звуковых колебаний гудка равна f' = 180 Гц, когда поезд удаляется — f'' = 160 Гц. Определить скорость v поезда. Скорость звука в воздухе равна u = 340 м/с.<br />
<a name='more'></a></div>
<div style="text-align: justify; text-indent: 40px;">
Выразив частоты воспринимаемых наблюдателем гудков от приближающегося и удаляющегося поезда, составим систему уравнений.</div>
<br />
{f' = f·u/(u − v)<br />
{f'' = f·u/(u + v)<br />
<br />
<div style="text-align: justify; text-indent: 40px;">
Решим систему уравнений относительно скорости поезда v</div>
<br />
f·u = f'·(u − v) = f''·(u + v) ⇒ (f' + f'')·v = (f' − f'')·u ⇒ v = u·(f' − f'')/(f' + f'')<br />
<br />
v = 340·(180 − 160)/(180 + 160) = 340·(9 − 8)/(9 + 8) = 340/17 = 20 м/с = 72 км/час<br />
<br />
<div style="text-align: justify; text-indent: 40px;">
Мы можем также найти собственную частоту колебаний гудка поезда f. Для этого разделим числители и знаменатели правых частей уравнений составленной системы на скорость звука в воздухе u.</div>
<br />
{f' = f/(1 − v/u)<br />
{f'' = f/(1 + v/u)<br />
⇓<br />
{1 − v/u = f/f'<br />
{1 + v/u = f/f''<br />
<br />
<div style="text-align: justify; text-indent: 40px;">
Сложим преобразованные уравнения.</div>
<br />
f/f' + f/f'' = f·(f' + f'')/(f'·f'') = 2 ⇒ f = 2·f'·f''/(f' + f'')<br />
<br />
f = 2·180·160/(180 + 160) ≈ 169 ГцIntegralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-50316593603808794632012-11-11T01:41:00.000+02:002012-11-11T03:00:22.909+02:00Предел рациональной тригонометрической функцииНайти предел рациональной тригонометрической функции<br />
<br />
A = lim_{x→π/4}(√2·cos x − 1)/(1 − tg² x)<br />
<br />
<center><img alt="математика, математический анализ, предел функции, тригонометрия" src="https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=A=\lim_{x\to\pi/4}\frac{\sqrt{2}\cos\,x-1}{1-\mathrm{tg}^2x}" title="математика, математический анализ, предел функции, тригонометрия" /></center><a name='more'></a><br />
Имеет место неопределённость вида [0/0].<br />
Можно попытаться применить <i>правило Лопиталя</i>, можно использовать <i>формулы суммы (разности) тригонометрических функций</i> и сделать соответствующую подстановку. Можно, но не нужно!<br />
Вспомним элементарную школьную тригонометрию и преобразуем знаменатель.<br />
<br />
1 − tg² x = 1 − sin² x/cos² x = (cos² x − sin² x)/cos² x<br />
<br />
По формуле <i>косинуса двойного аргумента</i><br />
<br />
cos² x − sin² x = cos(2·x) = 2·cos² x − 1<br />
<br />
Получим: 1 − tg² x = (2·cos² x − 1)/cos² x<br />
<br />
A = lim_{x→π/4}cos² x·(√2·cos x − 1)/(2·cos² x − 1)<br />
<br />
<center><img alt="математика, математический анализ, предел функции, тригонометрия" src="https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=A=\lim_{x\to\pi/4}\frac{\cos^2\,x\,\left(\sqrt{2}\cos\,x-1\right)}{2\,\cos^2\,x-1}" title="математика, математический анализ, предел функции, тригонометрия" /></center><br />
Разложим знаменатель по <i>формуле разности квадратов</i>.<br />
<br />
cos² x·(√2·cos x − 1)/(2·cos² x − 1) =<br />
= cos² x·(√2·cos x − 1)/((√2·cos x − 1)·(√2·cos x + 1)) =<br />
= cos² x/(√2·cos x + 1)<br />
<br />
Тогда A = lim_{x→π/4}cos² x/(√2·cos x + 1) = ¼<br />
<br />
<center><img alt="математика, математический анализ, предел функции, тригонометрия" src="https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=A=\lim_{x\to\pi/4}\frac{\cos^2\,x}{\sqrt{2}\cos\,x%2B1}=\frac14" title="математика, математический анализ, предел функции, тригонометрия" /></center><br />
И наконец — пример того, как не следует решать подобные задачи.<br />
<br />
<img alt="математика, математический анализ, предел функции, тригонометрия" src="http://dlm5.meta.ua/pic/0/79/226/mZv4XsGuYX.jpg" title="математика, математический анализ, предел функции, тригонометрия" />Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-69827898764249120212012-07-17T03:34:00.001+03:002012-07-17T03:36:28.459+03:00Длина дуги кривойНайдём длину L дуги линии y = exp(2·x) − 1, где x принадлежит промежутку<br />
[¼ ln ¾; ¼ ln 2].<br />
<a name='more'></a>Поскольку плоская линия задана уравнением y = ƒ(x), дифференциал длины её дуги выражается формулой: ds = √(y'² + 1)·dx.<br />
Дифференцируем: y' = 2·exp(2·x).<br />
Тогда ds = √(4·exp(4·x) + 1)·dx.<br />
Длину дуги кривой будем искать с помощью определённого интеграла:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="высшая математика, замена переменных, интеграл, математический анализ, длина дуги" src="http://dlm5.meta.ua/pic/0/74/79/QF27ZJrolb.gif" title="высшая математика, замена переменных, интеграл, математический анализ, длина дуги" /></div><br />
Мы получили определённый интеграл от иррационального выражения, который легко вычисляется после удачной подстановки.<br />
Пусть 4·exp(4·x) + 1 = t²<br />
Тогда 8·exp(4·x)·dx = t·dt,<br />
откуда dx = ½ t·dt/(4·exp(4·x)) = ½ t·dt/(t² − 1)<br />
<br />
Пределы интегрирования:<br />
нижний t₁ = √(4·exp(ln ¾) + 1) = √(3 + 1) = 2<br />
верхний t₂ = √(4·exp(ln 2) + 1) = √(8 + 1) = 3<br />
<br />
После подстановки получаем определённый интеграл от рациональной функции, вычислить который не составит труда:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="высшая математика, замена переменных, интеграл, математический анализ, длина дуги" src="http://dlm5.meta.ua/pic/0/74/79/iFXyHnRoTV.gif" title="высшая математика, замена переменных, интеграл, математический анализ, длина дуги" /></div><br />
<b>L = ¼ (2 + ln 1,5)</b><br />
<br />
И напоследок — порция летнего позитива.<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="лето, природа, цветы" height="300" src="http://dlm5.meta.ua/pic/0/74/79/nWhdbG05Rp.jpg" title="лето, природа, цветы" width="400" /><br />
<br />
<noindex><a href="http://dlm5.meta.ua/pic/0/74/79/nWhdbG05Rp.jpg" rel="nofollow" target="_blank"><b>Увеличить</b></a></noindex><br />
<br />
Автор фото мой друг <b>Юрий Семыкин</b>.<br />
<br />
Хороших каникул и приятного отдыха!</div>Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-26609617727869250192012-06-02T18:00:00.004+03:002012-07-03T00:47:10.807+03:00Теория по математическому анализу. МГУ, экономический факультет<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">Дорогие студенты!<br />
<br />
<div style="text-align: justify;"><p>Вновь на носу сессия, и для того, чтобы вы её сдали на ура, предоставляю вашему вниманию теорию по математическому анализу. Это материал второго семестра МГУ экономического факультета. Огромное спасибо нашему лектору, Черемных Юрию Николаевичу за огромное удовольствие, полученное от данного курса.</p></div><br />
Здесь в формате PDF вы можете скачать учебно-методическое пособие в двух частях. А ниже ознакомиться с содержанием трудов.<br />
<noindex><a href="http://goo.gl/reLV4" rel="nofollow" target="_blank">2 семестр 1-я часть</a><br />
<a href="http://goo.gl/LCqMp" rel="nofollow" target="_blank">2 семестр 2-я часть</a></noindex><br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<b>1 ЧАСТЬ</b><br />
Вопрос 1. Выпуклые вниз (вверх) функции одной переменной. Достаточное условие выпуклости вниз (вверх) (с доказательством).<br />
<br />
Вопрос 2. Понятие точки перегиба функции одной переменной. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Второе достаточное условие сильного локального экстремума функции одной переменной. <br />
Вопрос 3. Понятие круга (n-мерного шара), открытого круга (открытого n-мерного шара), окружности (n-мерной сферы). Понятие ε-окрестности на числовой прямой, числовой плоскости и n-мерном пространстве. Множества на плоскости (в n-мерном пространстве) ограниченные и неограниченные. <br />
Вопрос 4. Внутренняя точка множества , внутренность множества , открытое множество. <br />
Вопрос 5. Граничная точка множества , граница множества , замкнутое множество. <br />
Вопрос 6. Предельная точка множества (два определения), производное множество , замкнутое множество.<br />
Вопрос 7. Доказать, что открытый шар – открытое множество (можно ограничиться случаем n = 2). <br />
Вопрос 10. Выпуклая комбинация двух точек, отрезок в , понятие выпуклого множества в (можно ограничиться n = 2). Примеры множеств выпуклых и невыпуклых. Доказать, что открытый шар – выпуклое множество. <br />
Вопрос 11. Последовательность векторов на плоскости и в . Предел последовательности векторов на плоскости <br />
<br />
Вопрос 12. ε-окрестность на плоскости и в октаэдрические, евклидовы, кубические. Связь между ними в случае ε = 1. <br />
Вопрос 13. Связь сходимости последовательности векторов с покоординатной сходимостью (необходимость и достаточность). Сформулировать все редакции и привести доказательства. <br />
Вопрос 14. Предельная точка последовательности векторов. Формулировка теоремы о существовании предельной точки у ограниченной последовательности векторов. <br />
<br />
Вопрос 15. Функция нескольких переменных (ФНП), её область определения, область значений, множества уровней. Экономическая интерпретация. <br />
Вопрос 16. Определение предела (по Коши) ФНП. <br />
Вопрос 17. Направление в точке. Предел функции нескольких переменных по направлению. Пример ФНП, имеющей предел по любому направлению в точке (0; 0) и не имеющей предела. <br />
Вопрос 18. Понятие повторного предела. Теоремы о повторных пределах (без доказательства). <br />
Вопрос 19. Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точка глобального экстремума ФНП. <br />
Вопрос 20. Формулировка теоремы Вейерштрасса о существовании точек глобального максимума и минимума у непрерывной на замкнутом ограниченном множестве ФНП. <br />
Вопрос 21. Формулировка теоремы Больцано-Коши для ФНП. <br />
Вопрос 22. Понятие равномерно непрерывной функции НП. Доказать, что равномерно непрерывная ФНП непрерывна в каждой точке области определения. <br />
Вопрос 23. Привести формулировку теоремы Кантора о равномерной непрерывности ФНП, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве. <br />
Вопрос 24. Привести пример ФНП непрерывной по любому направлению в точке (0; 0), которая не является непрерывной по совокупности переменных. <br />
Вопрос 25. Понятие частной производной (ЧП) ФНП, конечной, бесконечной. Градиент. Случай, когда не существует ни конечной, ни бесконечной частной производной. Геометрическая интерпретация всех случаев. Формулы для приближённого вычисления ЧП. Понятие частной эластичности ФНП и эластичности производства. <br />
Вопрос 26. Дифференцируемость ФНП в точке и на множестве. Главная линейная часть приращения и «хвост» в аддитивной форме. Понятие полного дифференциала ФНП в точке. <br />
Вопрос 27. Эквивалентность аддитивной и мультипликативной форм хвоста (с доказательством). <br />
Вопрос 28. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о непрерывности дифференцируемой ФНП. <br />
Вопрос 29. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о существовании конечных частных производных у дифференцируемой ФНП. <br />
Вопрос 30. Сформулировать в трёх редакциях теорему о достаточном условии дифференцируемости ФНП. <br />
Вопрос 31. Понятие (невертикальной) касательной плоскости к графику функции двух переменных. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о существовании касательной плоскости к графику дифференцируемой функции двух переменных. <br />
Вопрос 32. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о дифференцируемости функции двух переменных, график которой имеет невертикальную касательную плоскость. Единственность касательной плоскости. <br />
Вопрос 33. Сформулировать теорему о непрерывности сложной ФНП. <br />
Вопрос 34. Сформулировать теорему о дифференцируемости сложной ФНП. Выписать формулы для ЧП. <br />
Вопрос 35. Понятие производной по направлению. <br />
Вопрос 36. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о существовании производной по любому направлению у дифференцируемой ФНП. <br />
Вопрос 37. Формы представления производной по направлению и их графическая интерпретация. Ортогональность градиента множеству уровня (эскиз доказательства). 28<br />
<br />
Вопрос 38. Инвариантность формы полного дифференциала. <br />
Вопрос 39. Однородные функции. Теорема Эйлера об однородных функциях и её применение к экономической теории. <br />
Вопрос 40. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве вторых смешанных частных производных (без доказательства). <br />
Вопрос 41. Сформулировать теорему 1 о неявной функции. <br />
Вопрос 42. Сформулировать теорему о существовании и гладкости обратной функции как частный случай теоремы о неявной функции. <br />
<b>2 ЧАСТЬ</b><br />
Вопрос №1. Первый полный дифференциал – функция четырёх переменных, линейная форма дифференциалов независимых переменных. <br />
<br />
Вопрос № 2. Второй дифференциал ФНП (можно Ф2П) (определение). Второй дифференциал – квадратичная форма дифференциалов независимых переменных. <br />
Вопрос №3. Сформулировать определение дважды дифференцируемой функции двух переменных. Сформулировать достаточное условие дважды дифференцируемости функции.<br />
Вопрос № 4. Доказать инвариантность первого полного дифференциала Ф2П и привести пример, показывающий, что второй полный дифференциал инвариантностью формы не обладает. <br />
Вопрос №5. Доказать, что если внутренние функции линейные, то второй и последующие дифференциалы Ф2П обладают инвариантностью формы. <br />
Вопрос №6. Понятие символического исчисления. Его использование для представления полных дифференциалов любых порядков.<br />
Вопрос № 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для Ф2П (без доказательства). <br />
Вопрос №8. Понятие абсолютного экстремума (локального, глобального, сильного, слабого) и точки абсолютного экстремума Ф2П. <br />
Вопрос №9. Необходимое условие локального абсолютного экстремума Ф2П в трёх редакциях (условия первого порядка). Доказательство и примеры. <br />
Вопрос №10. Формулировка достаточного условия наличия или отсутствия (сильного) абсолютного локального экстремума Ф2П (условия второго порядка). Примеры. <br />
Вопрос № 11. Функции 2П выпуклые и квазивыпуклые вверх (вниз). Равенство нулю первых частных производных – условие экстремума не только необходимое, но и достаточное (с доказательством). Пример Ф2П, выпуклой вверх, у которой локальный минимум не является глобальным. <br />
Вопрос №12. Понятие условного экстремума (локального, глобального, сильного, слабого) и точки условного экстремума Ф2П. <br />
Вопрос № 13. Функция Лагранжа, метод Лагранжа. Длинная и короткая точка. Коллинеарность градиентов. <br />
Вопрос №14. Формулировка необходимого условия локального экстремума (условия первого порядка). Пример, в котором необходимое условие не является достаточным. Коллинеарность градиентов. Умение читать взаимное расположение линий уровня. <br />
Вопрос №15. Достаточное условие условного (глобального) экстремума (случай выпуклых функций). <br />
Вопрос №16. Сформулировать и доказать две теоремы о функции одной переменной, производные которых равны. <br />
Вопрос №17. Сформулировать определение первообразной и неопределённого интеграла. Таблица неопределённых интегралов. <br />
Вопрос №18. Сформулировать первую основную теорему интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции). <br />
Вопрос №19. Примеры неопределённого интегрирования (табличные, разложением, замены переменных и по частям) <br />
Вопрос №20. Определённый интеграл и его геометрическая интерпретация. <br />
Вопрос №21. Свойства определённого интеграла (связанные с подынтегральной функцией и с отрезком интегрирования). <br />
Вопрос №22. Определённый интеграл – линейный функционал. Интегрирование неравенств. <br />
Вопрос №23. Теорема о среднем значении в интегральном исчислении. <br />
Вопрос №24. Определённый интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу. <br />
Вопрос №25. Формула Ньютона-Лейбница. <br />
Вопрос №26. Формулировка второй основной теоремы интегрального исчисления и её обобщение. <br />
Вопрос №27. Замена переменной и интегрирование по частям для неопределённого интеграла.<br />
Вопрос №28. Применение определённого интеграла для вычисления площадей. <br />
Вопрос №29. Несобственные интегралы первого и второго рода. Формулировка критерия Коши. <br />
Вопрос №30. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. <br />
Вопрос №31. Повторный интеграл и его использование для вычисления двойного интеграла. </div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-66805870998325775472012-05-08T02:38:00.001+03:002012-06-02T18:02:10.851+03:00Интегрирование иррациональных выражений<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Рассмотрим один из примеров интегрирования иррациональных выражений.<br />
<br />
Найти неопределённый интеграл I = ∫dx/(x²·√(x² + 4))<br />
<br />
<img alt="высшая математика, интеграл, подстановка, иррациональное выражение, математический анализ, математика" src="http://dlm5.meta.ua/pic/0/70/186/2czmjt4Omt.gif" title="высшая математика, интеграл, подстановка, иррациональное выражение, математический анализ, математика" /><br />
<a name='more'></a><br />
С первого взгляда напрашивается тригонометрическая x = 2·tg t или гиперболическая<br />
x = 2·sh t подстановка. Но, внимательно посмотрев на подынтегральную функцию, мы можем решить интеграл намного проще.<br />
Вынеся x из-под знака квадратного корня, получим:<br />
<br />
I = ∫dx/(x³·√(1 + 4/x²))<br />
<br />
Применим теперь подстановку t = 1 + 4/x². Тогда dt = −8·dx/x³.<br />
<br />
I = −¼ ∫dt/(2·√t) = C − ¼ √t.<br />
<br />
Применяя обратную подстановку, получим:<br />
<br />
I = C − ¼ √(1 + 4/x²) = C − √(x² + 4)/(4·x)<br />
<br />
Вот и всё решение:-)<br />
<br />
Покажем теперь, каким громоздким, запутанным и нерациональным будет решение при невнимательном прочтении условия задачи и бездумном применении тригонометрической подстановки. Иными словами — как данный интеграл решать не следует.<br />
<br />
<img alt="высшая математика, интеграл, подстановка, иррациональное выражение, математический анализ, математика" src="http://dlm5.meta.ua/pic/0/70/186/p1IB82q_JF.jpg" title="высшая математика, интеграл, подстановка, иррациональное выражение, математический анализ, математика" /></div>Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-45972561175315682632012-04-29T02:00:00.001+03:002012-04-29T02:01:40.226+03:00Теория вероятностей. Формула полной вероятностиВ первой урне находятся 4 шара белого и 5 шаров чёрного цвета, во второй — 7 белого и 2 синего, в третьей — 8 белого и 3 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.<br />
<a name='more'></a>Это задачу по теории вероятностей на схему урн можно решить не менее, чем двумя способами.<br />
Разберём сперва, в чём заключается традиционный способ. Для этого нужно рассмотреть гипотезы о составе шаров (по цвету), переложенных из первой и второй урн в третью. Всего возможны четыре элементарных исхода такого перекладывания:<br />
1) из обеих урн переложены шары не белого цвета (из первой — чёрного, из второй — синего);<br />
2) из первой урны переложен белый шар, из второй — синий;<br />
3) из первой урны переложен чёрный шар, из второй — белый;<br />
4) из обеих урн в третью переложены шары белого цвета.<br />
Далее предстоит вычислить вероятности этих гипотез и условные вероятности извлечения из третьей урны белого шара после реализации каждой из гипотез. При этом вторую и третью гипотезы можно объединить. И наконец, по формуле полной вероятности найти вероятность извлечения белого шара из третьей урны.<br />
<br />
Задачу можно решить и другим (не единственным), более изящным способом.<br />
Исходно в третьей урне находилось 8 + 3 = 11 шаров, после же перекладываний —<br />
11 + 2 = 13 шаров.<br />
Рассмотрим всего три гипотезы о происхождении шара, извлечённого наудачу из третьей урны:<br />
H<sub>i</sub> = {шар изначально находился в i-й урне}.<br />
Априорные вероятности этих гипотез соответственно равны:<br />
P(H₁) = P(H₂) = 1/13; P(H₃) = 11/13<br />
Найдём теперь условные вероятности события A = {из 3-й урны извлечён белый шар}. Эти условные вероятности равны вероятностям извлечения белого шара из соответствующих урн до перекладывания шаров:<br />
P(A/H₁) = 4/(4 + 5) = 4/9; P(A/H₂) = 7/(7 + 2) = 7/9; P(A/H₃) = 8/(8 + 3) = 8/11<br />
Искомую вероятность того, что в итоге из третьей урны будет извлечён белый шар, найдём по формуле полной вероятности:<br />
P(A) = ∑P(A/H<sub>i</sub>)·P(H<sub>i</sub>) = P(A/H₁)·P(H₁) + P(A/H₂)·P(H₂) + P(A/H₃)·P(H₃) =<br />
= 4/9 · 1/13 + 7/9 · 1/13 + 8/11 ·11/13 = (4 + 7)/(9·13) + 8/13 = 11/(9·13) + 8/13 =<br />
= (11/9 + 8)/13 = 83/(9·13) = 83/117 ≈ 0,709Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-61343950181289243362012-04-28T03:37:00.001+03:002012-04-28T04:05:33.414+03:00Теория вероятностей. Формула полной вероятности. Формула БайесаПутешественник может купить билет в одной из трёх касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, равна 1/2, ко второй — 1/3, к третьей — 1/6. Вероятности того, что в кассах уже нет билетов, равны соответственно 1/5, 1/6, 1/8. Путешественник обратился в одну из касс и купил билет. Найти вероятность того, что билет был куплен в первой кассе.<br />
<a name='more'></a>Эту типовую задачу из теории вероятностей я ранее разбирал со студентами. Итак, приступим.<br />
Рассмотрим гипотезы о происхождении купленного путешественником билета.<br />
H<sub>i</sub> = {билет приобретён в i-й кассе}.<br />
По условию задачи априорные вероятности гипотез соответственно равны:<br />
P(H₁) = 1/2, P(H₂) = 1/3, P(H₃) = 1/6.<br />
Отметим, что путешественник всё-таки купил билет. В условии же заданы вероятности того, что в кассах билетов не оказалось.<br />
Пусть событие A = {путешественник купил билет в кассе}.<br />
Условные вероятности события A соответственно равны:<br />
P(A/H₁) = 1 − 1/5 = 4/5, P(A/H₂) = 1 − 1/6 = 5/6, P(A/H₃) = 1 − 1/8 = 7/8.<br />
Вероятность приобретения пассажиром билета найдём по формуле полной вероятности:<br />
P(A) = ∑P(A/H<sub>i</sub>)·P(H<sub>i</sub>) = P(A/H₁)·P(H₁) + P(A/H₂)·P(H₂) + P(A/H₃)·P(H₃) =<br />
= 4/5 · 1/2 + 5/6 · 1/3 + 7/8 · 1/6 = 2/5 + 5/18 + 7/48 = (288 + 200 + 105)/720 = 593/720<br />
Апостериорную вероятность гипотезы H₁ = {билет приобретён в 1-й кассе} найдём по формуле Байеса:<br />
P(H₁/A) = P(A/H₁)·P(H₁)/P(A) = 2/5 ÷ 593/720 = 288/593 ≈ 0,486Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-25155248629854575192012-02-19T12:21:00.001+02:002012-02-19T12:27:32.446+02:00Золотое руно 2012. Великобритания. Интересные факты<div style="text-align: justify;">Сегодня мы выставляем наверное уже традиционную зимнюю рубрику, посвящённую конкурсу российских школьников <b>"Золотое руно"</b>. Это не просто ряд вопросов, на которые нужно верно ответить (но и не без этого конечно), но и задания на эрудицию, которые способны заинтересовать каждого школьника, заставить его найти в Интернете не просто сухие ответы. Ответ на каждый вопрос возможность изучить интересные вопросы истории, узнать порою неожиданные факты. А победители в мае получат шикарные <b>книги, над которыми прекрасно трудится уже 10 лет творческий коллектив Оргкомитета конкурса</b>. Низкий им поклон, а мы пока что изучим один из разделов конкурса, который в этом году посвящён Великобритании: <b>интересные факты</b>. </div><a name='more'></a><br />
<div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>21.</b> Судебная коллегия, функционировавшая в XV - XVII веках в Англии и обладавшая практически неограниченной судебной властью, называлась... </div><div style="text-align: justify;">А) Звездной палатой </div><div style="text-align: justify;">В) Палатой девяти </div><div style="text-align: justify;">С) Палатой лжецов </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Начнём с того, что есть фильм "Звездная палата", режиссером которого является Питер Хайемс. Фильм так же касается проблем судебной системы, однако снят не по историческим реалиям. Палата - это орган управления, в русском языке сказали бы, например, дума. Так вот в Англии XV века было помещение, точнее зал в Королевском дворце, потолок которого был украшен звёздами. И так сложилось, что заседали там люди, занимающиеся судебными функциями: при Генрихе VII следили, чтобы не бунтовали феодалы. Вспомним, что для Англии эта проблема существенна: централизованная власть долгое время не могла установить автономию в стране из-за феодальной раздробленности. При Елизавете I, в период абсолютизма, цели Палаты изменились - противников нового строя было не мало, и их нужно было устронять любыми способами. И вернёмся - всё начиналось с зала и звёздами на потолке. </div><div style="text-align: justify;">Несколько слов о других ответах. С палатой девяти ассоциируется "Палата №9", некоторая пародия на "Палату №6" Чехова. Это о психах. Палата лжецов - ассоциация с партией лжецов. Все знают её руководителя? </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b><span style="color: #6aa84f;">Ответ: Звёздная палата</span></b> </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>22.</b> Эту королеву называли "Виндзорской вдовой". </div><div style="text-align: justify;">А) Елизавета I </div><div style="text-align: justify;">В) Анна </div><div style="text-align: justify;">С) Виктория </div><div style="text-align: center;">Кто не знает Вдовы из Виндзора, </div><div style="text-align: center;">Коронованной старой Вдовы? </div><div style="text-align: center;">Флот у ней на волне, миллионы в казне, </div><div style="text-align: center;">Грош из них получаете вы </div><div style="text-align: center;">(Сброд мой милый! Наемные львы!)... </div><div style="text-align: right;">Редьярд Киплинг </div><div style="text-align: justify;">Стиль абсолютного монарха без сомнения. Однако выбирать все ещё есть из кого. Рассуждаем далее. Почему Виндзорская? Существует Виндзорский замок, который является наиболее населённым в данное время. В средние века большинство монархов Англии боялись этого замка: там была темница Карла I, Эдуард VI чувствовал себя в этом замке как в тюрьме, безумный Георг III провёл в замке свои последние дни... И это мужчины! Елизовета I считала Виндзорский замок самым безопасным местом на свете. Наверное, безопасность внушал замок и королеве Виктории - после смерти мужа, она уединилась в Виндзорском замке и очень редко её видели в Букингемском дворце. Печальные вехи у дворца, не так ли? </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b><span style="color: #6aa84f;">Ответ: Виктория</span></b> </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>23.</b> В этой книге английского писателя есть описание проекта, предлагающего для сбережения времени и здоровья упразднить все слова. </div><div style="text-align: justify;">А) Путешествие Гулливера </div><div style="text-align: justify;">В) Школа злословия </div><div style="text-align: justify;">С) Ярмарка тщеславия </div><div style="text-align: justify;">Школа языкознания Великой академии вам о чем-то говорит? А вот Гулливер там побывал. Герой узнал о двух проектах реформы. Первый предлагал свести словарный запас до минимума, суть смысла несут толька имена, их оставить. Второй же проект предлагал вообще отказаться от слов, а для того, чтобы выражать свои мысли и чувства с собою носить вещи, которые об этих чувствах могут рассказать. Как думаете, приняли бы такой проект руководители нашего Министерства образования? Ох, увы, ответ неоднозначный... </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b><span style="color: #6aa84f;">Ответ: Путешествие Гулливера</span></b> </div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>24.</b> Современники отмечали внешнее сходство русского императора Николая II и короля Великобритании Георга V. Кем приходился Николай II Георгу V? </div><div style="text-align: justify;">А) Дядей </div><div style="text-align: justify;">В) Племянником </div><div style="text-align: justify;">С) Двоюродным братом </div><div style="text-align: justify;">Начнем с того, что междинастические браки были всегда популярны. В таком государстве, как Киевская Русь был князь Всеволод Большое гнездо. Прозвище не случайно - по некоторым данным у него было 100 детей! Лично мне кажется это перебор, но точное число не суть - важно то, что детей было много. И браки его детей заключались в каждом европейском государстве! Великолепный политический ход, не так ли?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuwnHICH8swnOxBnxvfIsObsPV-dtKJlqCyOHOqwY26nFu37xy6K55jWlhWqoxD4lrd-KKuD9rF3zMCpyKxdogJAyYbWjvjI3LIFHjVTmfsgUKzSG0aPpSwCXG7UNhfXflMPliIcB5Ijc/s1600/Nikolay_2_Georg_5.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="218" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuwnHICH8swnOxBnxvfIsObsPV-dtKJlqCyOHOqwY26nFu37xy6K55jWlhWqoxD4lrd-KKuD9rF3zMCpyKxdogJAyYbWjvjI3LIFHjVTmfsgUKzSG0aPpSwCXG7UNhfXflMPliIcB5Ijc/s320/Nikolay_2_Georg_5.jpg" width="320" /></a></div><div style="text-align: justify;">И несмотря на всё, Георг V не спас Николая II, который закончил трагично в государстве большевиков... Матери двух правителей были родными сестрами, датскими принцессами. Александра (иать Георга V) - жена английского короля Эдуарда VII, Дагмар (мать Николая II) - императрица Мария Фёдоровна, жена Александра III российского Императора. Жестокие были времена: брат брату не помог. Хотя, разве сейчас лучше?</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="color: #6aa84f; text-align: justify;"><b>Ответ: двоюродный брат</b></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>25.</b> Столица какого государства названа в честь знаменитого британского военачальника?</div><div style="text-align: justify;">А) Шри Ланка</div><div style="text-align: justify;">В) Новая Зеландия</div><div style="text-align: justify;">С) Белиз</div><div style="text-align: justify;">Столица Белиза - Бельмопан, кстати это самый маленький город страны! На территории данного города существовали племена майя, поэтому в Белизе множество исторических и археологических музеев. Название город получил от сложения двух слов: Белиз (бывшая столица страны) плюс "мопан" - название одного из коренных племён.</div><div style="text-align: justify;">Столица Шри Ланки - это город Коломбо? А вот и нет! Это Шри-Джаяварденепура-Котте - самое длинное название столицы в мире! Однако расшифровка такого названия очень проста: Шри (с санкрита) - благословенный, великолепный. Джуниус Ричард <b>Джаявардене</b> - президент страны в конце XX века. "Пура" означает город; сравните - Сингапур (львиный город). Пока этот город не стал реальной столицей (администрация ещё не приехала), город назывался Котте. Всё гениальное просто!</div><div style="text-align: justify;">Ну-с, столица Новой Зеландии это Веллингтон. Британская фамилия, причём знаменитая! Назван в честь первого герцога Артура Уэлсли Веллингтона, победившего в сражении под Ватерлоо. К слову: очень ветреный город. Брр...</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="color: #6aa84f; text-align: justify;"><b>Ответ: Новая Зеландия</b></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>26.</b> Этот писатель создал пособие по игре в солдатики.</div><div style="text-align: justify;">А) В. Скотт</div><div style="text-align: justify;">В) Р. Стивенсон</div><div style="text-align: justify;">С) Г. Уэллс </div><div style="text-align: justify;">Все мы дети. Не замечали как загораются у родителей глаза, когда они ребёнку покупают игрушку, о которой сами мечтали? Парни в детстве собирают модели танков, девчонки одевают кукол... А Наполеон, Андерсен и Суворов играли в солдатиков. Один английский фантаст дошёл до того, что создал правила игры в солдатиков; например, использовался обычный кубик для подсчетов попадания или промаха. Этот фантаст написал роман "Человек-невидимка", очень захватывающий кстати, автора которого уже наверное знают все: Герберт Уэллс. "Война на полу" и "Битвы солдатиков" две книги автора о военных баталиях. А любителям компьютерных стратегий будет интересно узнать, что именно идея Уэллса послужила толчком к созданию игры Warhammer.</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="color: #6aa84f; text-align: justify;"><b>Ответ: Г. Уэллс</b></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>27.</b> Эти вымышленные персонажи, описанные Дж. Свифтом в романе "Путешествия Гулливера" по одной из версий дали название одной из поисковых систем Интернета.</div><div style="text-align: justify;">А) Яндексы</div><div style="text-align: justify;">В) Гуглы</div><div style="text-align: justify;">С) Еху</div><div style="text-align: justify;">Наверное, уже не секрет, что при патентовании Google была пропущена одна буква: Googol - якобы максимальное натуральное число (древние греки придумали). Ошибка досадная, но уж так сложилось. А вот в своём письме родственнику Гулливер рассказывает о еху-иоряках: "...книга моя представляет только плод моей фантазии и даже позволяющих себе высказывать предположение, будто гуигнгнмы и еху обладают</div><div style="text-align: justify;">не больше реальностью, чем обитатели Утопии..."</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="color: #6aa84f; text-align: justify;"><b>Ответ: Еху</b></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>28.</b> Выпускником этого университета, одного из старейших в Великобритании, был Л. Кэрролл</div><div style="text-align: justify;">А) Оксфордский</div><div style="text-align: justify;">В) Кембриджский</div><div style="text-align: justify;">С) Лондонский</div><div style="text-align: justify;">Странные люди писатели... Знали, что настоящее имя Кэрролла - Чарльз Латуидж Доджсон? Ещё он читал лекции по математике, специализировался на трудах по математической логикой. Родился в семье священника, написал книгу "Алиса в стране чудес", по которой снят, по моему мнению, классный современный фильм. Вот таких людей выпускает Alma mater Оксфордский университет.</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="color: #6aa84f; text-align: justify;"><b>Ответ: Оксфордский</b></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>29.</b> Какая должность официально существует в Великобритании в настоящее время?</div><div style="text-align: justify;">А) Лорд-хранитель Круглой печати</div><div style="text-align: justify;">В) Лорд-хранитель Малой печати</div><div style="text-align: justify;">С) Лорд-хранитель Квадратной печати</div><div style="text-align: justify;">В современной Великобритании есть несколько высших церемониальных должностей: Лорд-распорядитель, Лорд-председатель Совета,Лорд великий камергер, Граф-маршал, Лорд-канцлер, Лорд-казначей, Лорд-констебль, Лорд-адмирал, Лорд-констебль и конечно же Лорд-хранитель Малой печати. В настоящее время им является Гарриет Харман.</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="color: #6aa84f; text-align: justify;"><b>Ответ: Лорд-хранитель Малой печати</b></div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: justify;"><b>30.</b> Во флоте Великобритании есть традиция, согласно которой на подводных лодках при возвращении в порт...</div><div style="text-align: justify;">А) Производят выстрел торпеды</div><div style="text-align: justify;">В) Ставят дымовую завесу</div><div style="text-align: justify;">С) Поднимают флаг "Весёлый Роджер"</div><div style="text-align: justify;">Традиция берёт своё начало со времён адмирала Артура Вильсона: "Пленников с вражеских подлодок вешать как пиратов!" Во время Первой мировой войны британская подлодка E9 успешно торпедировала германский крейсер SMS “Hela”. Командир английской субмарины Макс Хортон поднял пиратский флаг “Весёлый Роджер” возвращаясь в порт. Другим командирам это понравилось, и понеслась нелёгкая...</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="color: #6aa84f; text-align: justify;"><b>Ответ: Поднимают флаг "Весёлый Роджер"</b></div><div style="color: #6aa84f; text-align: justify;"><br />
</div><div style="color: #e69138; text-align: center;"><span style="font-size: large;">Хороших результатов в конкурсе!</span></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-25734940327493222182012-02-08T19:58:00.001+02:002012-02-08T19:59:28.138+02:00Математика. Олимпиада «Покори Воробьёвы Горы»Вот и подошёл к концу заочный тур олимпиады «Покори Воробьёвы Горы», проводимой ежегодно Московским государственным университетом и редакцией газеты «Московский Комсомолец». Впереди — очный тур и возможность поступления в самый престижный ВУЗ России — МГУ.<br />
Разберём одну из математических задач.<br />
<hr />В результате опроса учеников школы выяснилось, что ровно 68% учеников знают год рождения А. С. Пушкина, ровно 5/18 учеников умеют доказывать теорему Пифагора, ровно 23/30 учеников любят ходить в кино и ровно 512 учеников читали сказку А. Де Сент Экзюпери «Маленький принц». Найдите минимально возможное количество учеников в этой школе.<br />
<a name='more'></a><br />
В условии задачи даны точные доли, равные целым количествам учеников.<br />
68 % = 68/100 = 17/25.<br />
Найдём <i>наименьшее общее кратное</i> знаменателей дробей (наименьший общий знаменатель):<br />
НОК = НОК{25; 18; 30}<br />
Для учеников младших классов — будущих абитуриентов — распишем нахождение наименьшего общего кратного более подробно.<br />
Для этого сперва найдём наименьшее общее кратное двух чисел (второго и третьего). Второе и третье числа (18 и 30) желательно выбрать потому что они не являются взаимно простыми. Заметим, что взаимно простыми не являются также первое и третье числа (25 и 30).<br />
Итак, приступим.<br />
НОК₁ = НОК{18; 30} = НОК{3·6; 5·6} = 3·5·6 = 90<br />
Теперь отыщем наименьшее общее кратное всех трёх чисел.<br />
НОК = НОК{НОК₁; 25} = НОК{90; 25} = НОК{18·5; 5·5} = 18·5·5 = 450<br />
Перейдём к нахождению минимально возможного числа учеников в школе (x). Оно кратно НОК и не может быть меньше 512 по условию задачи.<br />
Пусть x = k·НОК, где k — натуральное (причём минимально возможное) число.<br />
Составим неравенство и решим его сперва относительно k:<br />
<br />
x = k·НОД = k·450 ≥ 512, откуда k ≥ 512/450 → min, k — натуральное<br />
Выполнять деление вовсе не обязательно!<br />
512 = 450 + 62 < 2·450<br />
Получаем k = 2; x = 2·450 = 900<br />
<br />
Ответ: 900 человек — минимально возможное количество учеников в школе.<br />
<hr />Желаем всем успехов на очном туре олимпиады!Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-34634120821950046482012-01-27T12:06:00.006+02:002012-01-27T13:59:19.704+02:00Объединённая межвузовская математическая олимпиада-2012<div align="justify">Январь, особенно его конец, очень насыщен для школьников: это период олимпиад, которые уже в конце весны могут помочь ребятам поступить в лучшие ВУЗы страны. Существует несколько разновидностей олимпиад школьников — очные и заочные. Чаще всего заочные олимпиады имеют второй очный тур, и сегодня мы познакомимся с одной из таких олимпиад, заочный тур которой закончится 31 января. В добрый путь!<br />
<br />
<b>Объединеная межвузовская математическая олимпиада</b>. Вариант А<br />
<a name='more'></a><br />
<b>№1.</b> Зная, что sin(x) + cos(x) = 1/3, найдите sin³x + cos³x (ответ запишите виде несократимой дроби a/b).<br />
<b>Решение:</b> Возведём в квадрат данное равенство и получим, что sin(x)·cos(x) = -4/9. Используя формулу сокращнного умножения, сможем переписать:<br />
sin³x + cos³x = (sin(x) + cos(x))·(sin²x + cos²x - sin(x)·cos(x)) = (sin(x) + cos(x))·(1 - sin(x)·cos(x)). Подставляя значения, получаем отве.<br />
<br />
<b>№2.</b> Из города в одном направлении выехали тр автомобиля: второй - через 10 минут посл первого, третий - через 20 минут после второго. Через 30 минут после своего выезда третий автомобиль догнал второй, а ещё через 10 минут - первый. Через сколько минут после своего выезда из города второй автомобиль догнал первый?<br />
<b>Решение:</b> Пусть х<sub>i</sub> - скорось i-ой машины, измеренная в км/мин, i = 1, 2, 3. Тогда можем записать систему на основе данных о движении третьей машины:<br />
{30х<sub>3</sub> = 50x<sub>2</sub><br />
{40x<sub>3</sub> = 70<sub>1</sub><br />
Решение системы даст нам отношение между скоростями первой и второй машин: </div><br />
<br />
<div align="justify">х<sub>1</sub>/x<sub>2</sub> = 20/21<br />
Пусть второй автомобиль догнал первый через t минут после своего выезда из города. Тогда:<br />
(10 + t)·x<sub>1</sub> = t·x<sub>2</sub><br />
t/(t + 10) = 20/21<br />
Из последнего уравнения без труда находим искомую величину t.<br />
<br />
<b>№3</b>. Вася округлил 10 нецелых чисел: log<sub>2</sub>3, log<sub>2</sub>5, log<sub>2</sub>7, log<sub>2</sub>11, log<sub>2</sub>13, log<sub>2</sub>17, log<sub>2</sub>19, log<sub>2</sub>23, log<sub>2</sub>29, log<sub>2</sub>31 до целых. Часть из них он округлил в большую сторону, часть - в меньшую. Сумма округлённых чисел равна 37. Сколько чисел Вася округлил в большую сторону?<br />
<b>Решение:</b> предположим, что Вася все числа округлил в меньшую сторону. Тогда их сумма равна S = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 31. Очевидно, что при округлении одного числа в большую сторону сумма увеличится на единицу. Отсюда простым вычитанием не сложно рассчитать количество чисел, округлённых в большую сторону.<br />
<br />
<b>№4.</b> Все 9-значные числа, десятичная запись которых содержит все цифры от 1 до 9 по одному разу, выписали в ряд в порядке возрастания. Каждую минуту выбирают наибольшее и наименьшее из них и стирают. Какие два числа будут стёрты последними.<br />
<b>Решение:</b> Очевидно, что сначала вычеркивание будет производиться по первой цифре. Существует 8! (число перестановок) чисел, начинающихся с цифры 9, удовлетворяющих данным условиям. Столько же - начинающихся с цифры 1. Их количество кратно двум. Таким образом, вычеркнуты попарно будут числа, начинающиеся с цифр 1-9, 2-8, 3-7, 4-6. Останутся числа, которые начинаются на цифру 5. Дальнейшее вычеркивание будет производиться по второй цифре числа. Попарно будут вычеркнуты:<br />
51...-59...<br />
52...-58...<br />
53...-57...<br />
так как 7! (количество перестановок оставшихся цифр) также кратно двум.<br />
Чисел, начинающихся с 54... и с 56... четное количество соответственно. Попарное вычёркивание приведёт к тому что останется наибольшее число, начинающееся с 54..., и наименьшее число, начинающееся с 56...<br />
<br />
<b>№5.</b> В тупоугольном треугольнике провели срединные перпендикуляры к двум сторонам тупого угла. Они разбили третью сторону на три равных отрезка. Найдите углы треугольника.<br />
<b>Решение:</b> Достаточно разобраться в рисунке и понять, что как доказывается. Для каждого доказательства достаточно знать, что треугольники, у которых равны две стороны и угол между ними, равны.</div><img alt="математика, олимпиада" title="математика, олимпиада" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5702269637168893762" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipxu23V3x-0AufyXlOWqBH8YoDw_LbDs58y7CPirbD7yg7CVeP5WjH4Av7u51wzphvS-aQZFKcLEjvcIC-WVciiYARto4lGxFuXO3L8vE3HAkKTIg9uU0FbLJU2IqMgFqL_vzwqjGEMz_e/s400/%25E2%2584%25965.JPG" style="cursor: hand; display: block; height: 124px; margin: 0px auto 10px; text-align: center; width: 400px;" /><b>№6.</b> У Феди было много кубиков с ребром 1. Он склеил из них фигуру, изображённую на рисунке (фигура состоит из двух кубов с ребром 3, которые имеют два общих кубика с ребром 1). Из скольких квадратиков со стороной 1 состоит поверхность такой фигуры?<br />
<b>Решение:</b> если рисунок непонятен, просмотрите задания на сайте Олимпиады, но словесное описание весьма содержательное.<br />
<noindex><nofollow>http://2.olimpiada.ru/arc/12/ommo/ommo2012-regtasks.pdf</nofollow></noindex><br />
Фигура симметрична. Каждый кубик содержит 6·9 = 54 квадратика. Из-за соприкосновения каждый кубик теряет по 5 квадратиков. Вычесть, сложить - и ответ готов.<br />
<br />
<br />
<center><span style="font-size: 180%;">Удачи на очном туре олимпиады! </span></center>Unknownnoreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-85696156051115756662012-01-11T21:10:00.006+02:002012-01-12T00:25:49.824+02:00УМП по математическому анализу. Начало<div align="justify">Итак, в разгаре сессии публикуем очередную «кучку» <b>теории по математическому анализу</b> в виде учебно-методического пособия. В данном комплекте рассмотрены основы теории множеств, подготовка к пониманию и осознанию понятия предел и непрерывность. Будем просветляться и покорять новые образовательные вершины!</div><br />
Прошу любить и жаловать нашего лектора по математическому анализу, <b>Черемных Юрия Николаевича</b>, который делится с нами знаниями на протяжении уже полутора лет =)<br />
<div align="justify"></div><br />
<div align="center"><noindex><a href="http://goo.gl/iAawH" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-size: 180%;">скачать pdf</span></a></noindex></div><br />
<a name='more'></a><br />
Вопрос №1. Понятие производственной функции (ПФ) однофакторной, двухфакторной и её изокванты<br />
Вопрос №2. Функция издержек фирмы и ее изокосты <br />
Вопрос №3. Прибыль фирмы (случай двух факторов) и ее максимизация с использованием условий первого порядка <br />
Вопрос №4. Решение задачи максимизации прибыли фирмы в случае ПФ Кобба-Дугласа <br />
Вопрос №5. Решение задачи максимизации выпуска фирмы при ограничении на ресурсы <br />
Вопрос №6. Решение задачи минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме выпускаемой продукции <br />
Вопрос №7. Понятие множества и его элемента <br />
Вопрос №8. Понятие подмножества множества. Множество всех подмножеств данного множества. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества <br />
Вопрос №9. Конечные и бесконечные множества. Множества счетные и несчетные. Мощность континуума <br />
Вопрос №10. Множество целых чисел счетное (доказательство) <br />
Вопрос №11. Множество рациональных чисел счетное (доказательство) <br />
Вопрос №12. Операция объединения множеств и ее свойства. Геометрическая интерпретация<br />
Вопрос №13. Операция пересечения множеств и ее свойства. Геометрическая интерпретация<br />
Вопрос №14. Операция разности множеств и ее свойства. Геометрическая интерпретация<br />
Вопрос №15. Множество действительных чисел. Аксиома непрерывности. Понятие мажоранты и миноранты множества. Множества ограниченные (неограниченные) сверху (снизу). Понятие минимального (максимального) элемента множеств и их единственность<br />
Вопрос №16. Теорема о существовании минимального элемента. Понятие супремума множества<br />
Вопрос №17. Теорема о существовании максимального элемента. Понятие инфинума множества<br />
Вопрос №18. Теорема о необходимом и достаточном условии супремума. Необходимость теоремы и доказательство необходимости. Рабочее определение супремума<br />
Вопрос №19. Теорема о необходимом и достаточном условии супремума. Достаточность теоремы и доказательство достаточности. Рабочее определение супремума<br />
Вопрос №20. Теорема о необходимом и достаточном условии инфимума. Необходимость теоремы и доказательство необходимости. Рабочее определение инфимума<br />
Вопрос №21. Теорема о необходимом и достаточном условии инфимума. Достаточность теоремы и доказательство достаточности. Рабочее определение инфимума<br />
Вопрос №22. Понятие ε-окрестности точки, внутренней точки множества, внутренности множества, открытого множества<br />
Вопрос №23. Понятие ε-окрестности точки, граничной точки, границы множества, замкнутого множества<br />
Вопрос №24. Понятие ε-окрестности точки, предельной точки множества, производного множества данного множества, замкнутого множества (второе определение замкнутого множества). Теорема о предельной точке множества<br />
Вопрос №25. Эквивалентность двух определений замкнутого множества (доказательство)<br />
Вопрос №26. Определение предельной точки с использованием понятия ε-окрестности с выколотым центром<br />
Вопрос №27. Из первого определения предельной точки следует ее второе определение (доказательство)<br />
Вопрос №28. Из второго определения предельной точки следует ее первое определение (доказательство)<br />
Вопрос №29. Дополнение открытого множества есть замкнутое множество (доказательство)<br />
Вопрос №30. Дополнение замкнутого множества есть открытое множество (доказательство)<br />
Вопрос №31. Понятие выпуклой комбинации векторов, отрезка с концами х0 и х1, выпуклого множества.<br />
Вопрос №32. Определение шара радиуса r в точке x0, открытого шара, сферы<br />
Вопрос №33. Открытый шар – это открытое множество (доказательство)<br />
Вопрос №34. Открытый шар – это выпуклое множество (доказательство)<br />
Вопрос №35. Функция натурального аргумента и ее график и числовая последовательность. Геометрическая интерпретация трех классов функций натурального аргумента<br />
Вопрос №36. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) функции натурального аргумента<br />
Вопрос №37. ФНА бесконечно малые (БМ). ФНАБМ ограничена (доказательство). Теорема о бесконечно малом «хвосте» (ТБМХ). Необходимость теоремы (в трёх редакциях) и доказательство необходимости<br />
Вопрос №38. Формулировка ТБМХ. Достаточность теоремы (в трёх редакциях) и ее доказательство<br />
Вопрос №39. ФНА бесконечно большие (ББ). Теорема: если f(x) БМФНА, то 1/f(x) ББФНА (доказательство)<br />
Вопрос №40. Теорема: если f(x) ББФНА, то 1/f(x) БМФНА (доказательство)<br />
Вопрос №41. Теорема о сумме конечного числа БМФНА (доказательство)<br />
Вопрос №42. Теорема о произведении БМФНА на ограниченную ФНА (доказательство)<br />
Вопрос №43. Теорема о пределе суммы конечного числа ФНА, имеющих конечные пределы (доказательство)<br />
Вопрос №44. Теорема о пределе произведения конечного числа ФНА, имеющих конечные пределы (доказательство)<br />
Вопрос №45. Теорема о пределе дроби ФНА<br />
Вопрос №46. Теорема о двух «милиционерах» для ФНА (доказательство)<br />
Вопрос №47. Понятие фундаментальной числовой последовательности. Критерий Коши (доказательство необходимости)<br />
Вопрос №48. Последовательности вложенных и стягивающихся отрезков. Теорема о стягивающихся отрезках (доказательство)<br />
Вопрос № 49. Теорема о предельной точке (доказательство)<br />
Вопрос № 50. Подпоследовательность числовой последовательности. Теорема о подпоследовательности числовой последовательности, имеющей предел (доказательство)<br />
Вопрос №51. Теорема Больцано-ВейерштрассаUnknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-65549038103118682272012-01-05T01:08:00.000+02:002012-01-05T01:08:04.755+02:00Правильная четырёхугольная пирамида<span style="font-family: verdana;">В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S найдите тангенс угла между прямыми SA и DM, где М — середина ребра SC, AS=12, BC=3·√2<br />
</span><br />
<a name='more'></a><br />
<hr /><img alt="геометрия, ЕГЭ математика, контрольную заказать, контрольные на заказ, репетитор в Киеве, стереометрия" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5474123424462412898" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMzYuhFE1bAdPIQtOtmhjUuMqQqTNsGZ2WOldezAap_L7NBxyohHBST8NepeJl1cvtPpmo9Y9Id70WXD2ni70kNQ-Uk-wRc5M0BOxnDj5feihS-MIYlsRLb1etRlYNCBK1HSrMRZ-xLSWv/s400/%D0%9F%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D0%B0.JPG" style="float: left; height: 358px; margin: 0pt 10px 10px 0pt; width: 392px;" ешеду="геометрия, ЕГЭ математика, контрольную заказать, контрольные на заказ, репетитор в Киеве, стереометрия" /><br />
<span style="font-family: verdana;">Задачу будем решать с помощью <i>метода координат</i>.<br />
<br />
Совместим вершину <b>А</b> правильной пирамиды с началом отсчёта, а плоскость основания — с плоскостью <b>ZOХ</b> (см. рисунок).<br />
Координаты точки <b>А</b>:</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><span style="font-family: verdana;"><b>А (0; 0; 0)</b></span></center><span style="font-family: verdana;"><br />
Координаты точки <b>D</b>:<br />
<br />
</span><center><span style="font-family: verdana;"><b>D (3·√2; 0; 0)</b></span></center><span style="font-family: verdana;"><br />
<br />
Чтобы найти координаты точки <b>S</b>, нужно найти <b>SH</b> и <b>AH</b>. Учитывая, что в правильной четырёхугольной пирамиде основание — это квадрат, по <i>теореме Пифагора</i> можем записать:<br />
<br />
</span><center><span style="font-family: verdana;"><b>2·AH = √(2·(3·√2)²) = √36 = 6<br />
</b></span></center><center><span style="font-family: verdana;"><b>AH = 3</b></span></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><span style="font-family: verdana;"><b>SH = √(12² − AH²) = √(144 − 9) = 3·√15</b></span></center><br />
<br />
<span style="font-family: verdana;">Так как высота в правильной пирамиде опускается в центр основания, то координаты точки <b>S</b>:</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><span style="font-family: verdana;"><b>S (1,5·√2; 3·√15; 1,5·√2)</b></span></center><br />
<br />
<span style="font-family: verdana;">По <i>обобщённой теореме Фалеса</i> перпендикуляр, опущенный из точки <b>М</b> к основанию пирамиды, попадёт в центр <b>НС</b>. Из этого следует, что этот перпендикуляр будет равен половине <b>SH</b>. Запишем координаты точки <b>М</b>:<br />
<br />
</span><br />
<br />
<br />
<br />
<center><span style="font-family: verdana;"><b>М ( (3/4)·3·√2; 1,5·√15; (3/4)·3·√2)</b></span></center><center><span style="font-family: verdana;"><b><br />
M (2,25·√2; 1,5·√15; 2,25·√2)</b></span></center><br />
<br />
<span style="font-family: verdana;">Теперь перейдём к векторам. Запишем координаты векторов <b>АS</b> и <b>DM</b>:<br />
<br />
</span><br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-family: verdana; font-weight: bold;">AS (1,5·√2; 3·√15; 1,5·√2)</span><br />
<span style="font-family: verdana; font-weight: bold;"><br />
DM (2,25·√2 − 3·√2; 1,5·√15; 2,25·√2)</span><br />
<span style="font-family: verdana; font-weight: bold;"><br />
DM (−0,75·√2; 1,5·√15; 2,25·√2)</span><br />
<br />
<div style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana;">Косинус угла между векторами найдём по формуле:<br />
<br />
</span><br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-family: verdana; font-weight: bold;">cos α = (AS·DM)/(|AS|·|DM|)<br />
<br />
AS·DM = 1,5·√2·(−0,75·√2) + 3·√15·1,5·√15 + 1,5·√2·2,25·√2 =<br />
= - 2,25 + 67,5 + 6,75 = 72<br />
<br />
|AS|·|DM| = √(2,25·2 + 9·15 + 2,25·2)·√(0,5625·2 + 2,25·15 + 5,0625·2) =<br />
= √(9·16)·√((18 + 540 + 162)/16) = 3·√720 = 36·√5<br />
<br />
cos α = 72/(36·√5) = 2/√5</span></div><br />
<span style="font-family: verdana;">Известно, что:</span><br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-family: verdana;"><b>tg² α = (1/cos² α) − 1 = 5/4 − 1 = ¼</b></span></div><br />
<span style="font-family: verdana;">Так как угол <b>α</b> между прямыми лежит в пределах от <b>0º</b> до <b>180º</b>, то тангенс этого угла положителен, из-за того, что положителен косинус.</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-family: verdana;"><b>tg α = 0,5</b></span></div><span style="font-family: verdana; font-size: large;">Ответ: tg α = 0,5</span></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-32717787613598037452012-01-04T17:28:00.007+02:002012-01-04T18:15:07.466+02:00УМП по математическому анализу<div align="center"><span style="font-size: 130%;">С наступившим новым 2012 годом!</span></div><br />
<br />
<div align="justify">К сожалению, праздники кончаются и на носу экзамены и сессия. Чаще всего трудности вызывает математический анализ, особенно — теоретический материал. Есть всегда два варианта — тупо заучивать (лучше умно заучивать) или понимать. Не хочется глубоко капать и понимать? Предлагаю вам УМП, подготовленное по лекциям профессора МГУ имени М. В. Ломоносова Черемных Юрия Николаевича мною лично. Так что на вопросы отвечу грамотно=) Радуйтесь! </div><br />
<div align="center"><noindex><a href="http://goo.gl/nI9wz" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-size: 180%;">Скачать pdf файл</span></a></noindex></div><a name='more'></a><br />
<b>В данном пособии рассмотрены следующие темы:</b><br />
Вопрос №1. Определение предела функции по Коши<br />
Вопрос №2. Отрицание для определения предела функции по Коши.<br />
Вопрос № 3. Определение предела функции по Гейне.<br />
Вопрос №4. Отрицание определения предела функции по Гейне.<br />
Вопрос №5. Теорема о бесконечно малом хвосте функции (доказательство).<br />
Вопрос №6. Теоремы о пределе суммы, произведения и дроби функций.<br />
Вопрос № 7. Определение непрерывной функции (по Коши, по Гейне), наглядная иллюстрация.<br />
Вопрос №8. Классификация точек разрыва.<br />
Вопрос №9. Теоремы о непрерывности суммы, произведения и дроби непрерывных функций.<br />
Вопрос №10. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о предельном переходе в сложной функции.<br />
Вопрос №11. Непрерывность функции y = sin(x) (доказательство).<br />
Вопрос №12. Непрерывность функций y = tg(x) и y = ctg(x) (доказательство).<br />
Вопрос №13. Непрерывность функции y = e^x (доказательство).<br />
Вопрос №14. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.<br />
Вопрос №15. Первый замечательный предел (доказательство).<br />
Вопрос №16. Второй замечательный предел (доказательство).<br />
Вопрос № 17. Третий и четвёртый замечательные пределы (доказательство).<br />
Вопрос №18. Пятый замечательный предел (доказательство).<br />
Вопрос №19. Точка глобального максимума (минимума). Глобальный максимум (минимум) функции.<br />
Вопрос №20. Теорема Вейерштрасса.<br />
Вопрос № 21. Теоремы Больцано-Коши.<br />
Вопрос №22. Равномерно непрерывная функция. Не равномерно непрерывная функция. Теорема Кантора.<br />
Вопрос №23. Производная функции в точке (конечная, бесконечная). Не существование производной в точке. Вертикальная, наклонная, горизонтальная касательная к графику функции в точке (x; f(x)).<br />
Вопрос № 24. Вертикальные касательные — «клювы», вертикальный перегиб, «угловые» точки.<br />
Вопрос №25. Приближённое представление конечной производной. Предельная и точечная эластичность функции.<br />
Вопрос №26. Взаимосвязь между дифференцируемой и непрерывной функцией. Пример Ван-дер-Вардена.<br />
Вопрос №27. Теорема о производной суммы и произведения конечного числа функций. Теорема о производной частного функций.<br />
Вопрос №28. Теорема о производной сложной функции.<br />
Вопрос №29. Теорема о производной обратной функции.<br />
Вопрос № 30. Нахождение производных элементарных функций по определению.<br />
Вопрос №31. Точка локального максимума (сильного, слабого). Локальный максимум (сильный, слабый). Сравнение с глобальным максимумом.<br />
Вопрос №32. Точка локального минимума (сильного, слабого). Локальный минимум (сильный, слабый). Сравнение с глобальным минимумом.<br />
Вопрос №33. Теорема Ферма или необходимое условие локального экстремума (доказательство).<br />
Вопрос №34. Теорема Ролля (доказательство).<br />
Вопрос №35. Теорема Коши о среднем значении (доказательство).<br />
Вопрос №36. Теорема Лагранжа о среднем значении (доказательство). Геометрическая интерпретация.<br />
Вопрос №37. Правило Лопиталя (доказательство для случая неопределённости вида [0/0]).<br />
Вопрос № 38. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.<br />
Вопрос №39. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции в промежутке. Достаточное условие локального экстремума функции одной переменной.Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-61702712600886351362012-01-03T16:49:00.006+02:002012-01-03T17:21:14.922+02:00Олимпиада "Ломоносов". Математика<div align="justify">В 2011 году Московский Государственный Университет отметил грандиозный праздник - прошло 300 лет со дня рождения великого основателя Университета, М.В. Ломоносова. В течение года делегации многих факультетов повторили путь учёного из его родной деревни до Москвы, почли память Ломоносова, вспомнили вехи своей истории. Это не все мероприятия, приуроченные к круглой дате! Ещё одно - проведение <strong>олимпиады школьников "Ломоносов"</strong>, одним из предметов которой является <strong>математика</strong>. В данной записи вы можете познакомиться с чётными номерами этой олимпиады. С праздником, МГУ!<br /><a name='more'></a><br /><br /><strong>2.</strong> Решите неравенство √(x + 1) − √(3 − x) ≥ arcsin(x<sup>2</sup> − 2x − 4).<br /><strong>Подсказка:</strong> ОДЗ спасёт мир!<br /><br /><strong>4.</strong> Найдите множество значений функции y(x) = tg<sup>2</sup>2x + 6sinx − 2cos2x - 1/cos<sup>2</sup>2x.<br /><strong>Подсказка:</strong> привести уравнение к одной переменной (например, sin2x) и учесть ограниченность тригонометрических функций. Не забыть ОДЗ тангенса!<br /><br /><strong>6.</strong> На длинном прямолинейном проводе сидели белая и серая вороны, а между ними воробей и сорока: воробей - посередине, а сорока - к белой вороне в полтора раза ближе, чем к серой. Расстояния от белой вороны, серой вороны и сороки до другого прямолинейного провода равны 16м, 34м и 20м соответственно. Найдите расстояние от воробья до этого провода.<br /><strong>Подсказка:</strong> Расспатривать все случаи геометрически почти нереально - пробовала. Ведь прямые могут быть как параллельные, так и пересекающиеся, так и скрещивающиеся... Какой способ учитывает всё без разбиения на случаи? Правильно, метод координат.<br /><br /><strong>8.</strong> В равнобедренном треугольнике LMN проведена биссектриса MO. Найдите величину угла LOM, если MN = MO + LO.<br /><strong>Подсказка:</strong> здесь 2 случая! Первый решается легко с помощью школьных теорем. Второй решается, нужно просто исхитриться, ответ даже относительно нормальный получается=)<br /><br /><strong>10.</strong> Маленькая мышка в кромешной тьме оказалась на бетонном полу длинного прямого коридора с деревянными стенами, расположенными на расстоянии 2м друг от друга. Чтобы выбраться наружу, мышке нужно вслепую добраться до стены и прогрызть в ней дыру. Существует ли путь, двигаясь по которому, мышка гарантированно (независимо от её начального положения и направления коридора) выйдет к какой-нибудь стене, пройдя не более: а)4м 83см; б)4м 62см; в)4м 58см?<br /><strong>Подсказка:</strong> Была похожая задача, но про Штирлица, которого скинули в бесконечно длинную полосу леса шириной в 2 километра. Штирлиц, помнится, победил... У нас всё ровно, а значит пробовать нужно правильные многоугольники для искомой территории. Этого рассуждения достаточно для решения первых двух пунктов задачи. В третьем пункте можно поиграть с "правиьными" кривыми. А самая правильная кривая это, конечно же, окружность.<br /></div><br /><div align="center"><span style="font-size:130%;"><strong>Удачи в написании олимпиады!</strong></span></div>Unknownnoreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-99503339622302112011-11-26T01:48:00.005+02:002012-01-01T01:41:34.807+02:00Предел тригонометрического выраженияНайти предел тригонометрического выражения<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия" height="70" src="http://dlm4.meta.ua/pic/0/61/250/EkTG5tTccG.gif" title="высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия" width="400" /></div><a name='more'></a>Эта задача попалась мне на одном математическом ресурсе, причём при вычислении предела с применением и без применения правила Лопиталя получились разные результаты. Разберём, какие ошибки были допущены в решении, чтобы самим их не повторять. Ведь кто предупреждён — тот вооружён:-)<br />
<br />
Имеет место неопределённость вида [0 · ∞]. Перейдём к неопределённости вида [0/0] и приме́ним правило Лопиталя, продифференцировав числитель и знаменатель дроби.<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия" height="97" src="http://dlm4.meta.ua/pic/0/61/250/Esmi66049u.gif" title="высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия" width="400" /></div><br />
Приведу теперь почти без правок неверное решение, найденное мною в интернете. Решение без применения правила Лопиталя. Будьте внимательны! Решение содержит ошибки, которые мы с Вами разберём и исправим.<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия" height="129" src="http://dlm4.meta.ua/pic/0/61/251/vHgYz_BpCI.gif" title="высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия" width="400" /></div><br />
Ошибка заключается в некорректном раскрытии (точнее будет сказать — в «нераскрытии») неопределённости вида [0/0]. Следует учитывать, что x стремится к π/2, а 5·x — к 5·π/2 <b>с разными скоростями</b>!<br />
<br />
Приведу теперь правильное решение без применения правила Лопиталя.<br />
<br />
Введём новую переменную y = π/2 − x → 0 и используем формулы приведения.<br />
<br />
cos x = cos(π/2 − y) = sin y<br />
<br />
tg(5·x) = tg(5·(π/2 − y)) = tg(2·π + π/2 − 5·y) = tg(π/2 − 5·y) = ctg(5·y)<br />
<br />
Исходный предел легко решится с помощью первого замечательного предела и следствий из него.<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия" height="146" src="http://dlm1.meta.ua/pic/0/61/251/4mVgzQEZbN.gif" title="высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия" width="400" /></div><br />
Ответ: A = 1/5<br />
<br />
Будьте внимательны при раскрытии неопределённостей — и всё у Вас получится)<br />
<br />
Успехов!<br />
<hr /><div style="text-align: center;"><span style="font-size: x-large;"><b>© <a href="http://5ballov.pp.ua/">http://5ballov.pp.ua/</a></b></span></div>Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-28032742224483121922011-11-24T05:23:00.002+02:002011-11-24T05:28:41.419+02:00Делимость суммы ряда. Олимпиадная задачаДоказать, что сумма S = 2·2 + 3·2² + 4·2³ + … + 2012·2²⁰¹¹ делится на 2011.<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="алгебра, делимость, математика, математический анализ, олимпиада, ряды" height="27" src="http://dlm4.meta.ua/pic/0/61/208/JANKuVwssL.gif" title="алгебра, делимость, математика, математический анализ, олимпиада, ряды" width="400" /></div><a name='more'></a><br />
Решим более общую задачу — докажем, что для любого n сумма<br />
<br />
S = 2·2 + 3·2² + 4·2³ + … + (n + 1)·2ⁿ делится на n.<br />
<br />
Задачу можно попытаться решить и не находя общего выражения для суммы ряда. Буду признателен тому, кто через форму обратной связи пришлёт своё решение, основанное на методе математической индукции. Красивое и подробное решение мы обязательно опубликуем в помощь всем изучающим математику. А теперь давайте рассмотрим способы нахождения выражения суммы ряда. Например школьный способ без использования почленного интегрирования ряда.<br />
<br />
S = 2·2¹ + 3·2² + 4·2³ + … + (n + 1)·2ⁿ<br />
<br />
Домножим искомую сумму на 2 − 1 = 1:<br />
<br />
S = (2 − 1)·S = 2·S − S<br />
<br />
2·S = 2·2² + 3·2³ + 4·2⁴ + … + n·2ⁿ + (n + 1)·2ⁿ⁺¹<br />
<br />
Вычитаем: S = (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − (2² + 2³ + … + 2ⁿ) − 2·2¹ =<br />
<br />
= (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − (2¹ + 2² + 2³ + … + 2ⁿ) − 2 =<br />
<br />
= (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − 2·(1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ⁻¹) − 2<br />
<br />
Выражение в скобках представляет собою геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Формула частичной суммы геометрической прогрессии нам известна. Получаем:<br />
<br />
S = (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − 2·(2ⁿ − 1)/(2 − 1) − 2 = (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ − 2 + 2 = n·2ⁿ⁺¹<br />
<br />
Полученная сумма делится на n, что и требовалось доказать.<br />
<br />
Разберём ещё одно решение задачи, основанное на методах математического анализа.<br />
<br />
Рассмотрим сумму<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="алгебра, делимость, математика, математический анализ, олимпиада, ряды" height="122" src="http://dlm4.meta.ua/pic/0/61/208/UlpdJaYikr.gif" title="алгебра, делимость, математика, математический анализ, олимпиада, ряды" width="400" /></div><br />
Проинтегрируем ряд почленно, найдём сумму, а затем продифференцируем.<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="алгебра, делимость, математика, математический анализ, олимпиада, ряды" height="159" src="http://dlm4.meta.ua/pic/0/61/208/XoRRscn_ff.gif" title="алгебра, делимость, математика, математический анализ, олимпиада, ряды" width="400" /></div><br />
Последний ряд представляет собою геометрическую прогрессию со знаменателем x.<br />
<br />
S₁(x) = x²·(xⁿ − 1)/(x − 1) = (xⁿ⁺² − x²)/(x − 1)<br />
<br />
Дифференцируем<br />
<br />
S(x) = S₁'(x) = [((n + 2)·xⁿ⁺¹ − 2·x)·(x − 1) − (xⁿ⁺² − x²)]/(x − 1)² =<br />
<br />
= ((n + 1)·xⁿ⁺² − (n + 2)·xⁿ⁺¹ − x² + 2·x)/(x − 1)² =<br />
<br />
= x·((n + 1)·xⁿ⁺¹ − (n + 2)·xⁿ − (x − 2))/(x − 1)²<br />
<br />
Подставляя x = 2, получаем:<br />
<br />
S = (2·n + 2 − (n + 2))·2ⁿ⁺¹ = n·2ⁿ⁺¹<br />
<br />
Делимость доказана<br />
<hr /><div style="text-align: center;"><span style="font-size: x-large;"><b>© <a href="http://5ballov.pp.ua/">http://5ballov.pp.ua/</a></b></span></div>Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-4132584825293526392011-11-21T19:23:00.003+02:002011-11-22T02:48:20.368+02:00Тригонометрическое тождествоДоказать тригонометрическое тождество<br />
<br />
sin 8°·sin 50°·sin 58° = sin 18°·sin 24°·sin 46°<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><img alt="математика, тригонометрия, тождество" height="20" src="http://dlm4.meta.ua/pic/0/61/182/WXOnpUDobg.gif" title="математика, тригонометрия, тождество" width="640" /></div><a name='more'></a><br />
Эта задача обсуждалась в Живом Журнале: <noindex><nofollow>http://knop.livejournal.com/238792.html#comments</nofollow></noindex>. В частности, в обсуждениях предлагалось использовать свойство равенства нулю суммы игрек-координат всех вершин вписанного в единичную окружность правильного многоугольника (в частности, треугольника и пятиугольника). Предлагалось также использовать многочлены Чебышева. В других источниках доказательств подобных тождеств не встречалось.<br />
<br />
Я предлагаю свой вариант решения задачи, основанный на обычных школьных формулах.<br />
<br />
Домножим обе части тождества на 4 и применим формулу преобразования произведения синусов в сумму тригонометрических функций:<br />
<br />
4·sin x·sin y·sin z = sin(x + y − z) + sin(y + z − x) + sin(z + x − y) − sin(x + y + z)<br />
<br />
Применяя эту формулу, получим:<br />
<br />
sin(8° + 50° − 58°) + sin(50° + 58° − 8°) + sin(58° + 8° − 50°) − sin(8° + 50° + 58°) =<br />
= sin(18° + 24° − 46°) + sin(24° + 46° − 18°) + sin(46° + 18° − 24°) − sin(18° + 24° + 46°)<br />
<br />
sin 0 + sin 100° + sin 16° − sin 116° = sin(−4°) + sin 52° + sin 40° − sin 88°<br />
<br />
Для углов, бо́льших 90°, используем формулу приведения: sin x = sin(180° − x).<br />
<br />
Не забываем также о нечётности функции sin x.<br />
<br />
0 + sin 80° + sin 16° − sin 64° = −sin 4° + sin 52° + sin 40° − sin 88°<br />
<br />
Переносим все слагаемые в левую часть тождества.<br />
<br />
sin 80° + sin 16° − sin 64° + sin 4° − sin 52° − sin 40° + sin 88° = 0<br />
<br />
Сгруппируем слагаемые:<br />
<br />
(sin 80° − sin 40°) + sin 16° − (sin 64° − sin 4°) + (sin 88° − sin 52°) = 0<br />
<br />
К выражениям в скобках применим формулу преобразования разности синусов в произведение тригонометрических функций.<br />
<br />
sin x − sin y = 2·cos[½ (x + y)]·sin[½ (x − y)]<br />
<br />
2·cos 60°·sin 20° + sin 16° − 2·cos 34°·sin 30° + 2·cos 70°·sin 18° = 0<br />
<br />
По формуле приведения cos 70° = sin(90° − 70°) = sin 20°; cos 34° = sin 56°<br />
<br />
Учитывая, что cos 60° = sin 30° = ½, получим:<br />
<br />
sin 20° + sin 16° − sin 56° + 2·sin 20°·sin 18° = 0<br />
<br />
<br />
Снова группируем и применяем формулу преобразования разности синусов.<br />
<br />
sin 20° − (sin 56° − sin 16°) + 2·sin 20°·sin 18° = 0<br />
<br />
sin 20° − 2·cos 36°·sin 20° + 2·sin 20°·sin 18° = 0<br />
<br />
Выносим за скобки общий множитель sin 20°<br />
<br />
sin 20°· [1 − 2·(cos 36° − sin 18°)] = 0<br />
<br />
Поскольку sin 20° ≠ 0, получаем эквивалентное исходному тождество<br />
<br />
2·(cos 36° − sin 18°) = 1<br />
<br />
Для доказательства последнего тождества вовсе не обязательно знать значения тригонометрических функций углов, кратных 18°, хотя и их можно найти.<br />
<br />
Домножим обе части тождества на cos 18° ≠ 0<br />
<br />
2·(cos 36° − sin 18°)·cos 18° = cos 18°<br />
<br />
По формуле преобразования произведения косинусов в сумму<br />
<br />
2·cos 36°·cos 18° = cos(36° − 18°) + cos(36° + 18°) = cos 18° + cos 54°<br />
<br />
По формуле синуса двойного аргумента 2·sin 18°·cos 18° = sin 36°<br />
<br />
Получаем: cos 18° + cos 54° − sin 36° = cos 18° ⇒ cos 54° = sin 36°<br />
<br />
Последнее выражение справедливо в силу формул приведения. Исходное тождество доказано.<br />
<br />
Комментарии и обсуждения приветствуются.<br />
<hr /><div style="text-align: center;"><span style="font-size: x-large;"><b>© <a href="http://5ballov.pp.ua/">http://5ballov.pp.ua/</a></b></span></div>Публикация материалов сайта без активных, видимых для поисковых систем ссылок на главную страницу сайта и страницу материала категорически запрещена!<br />
<u><b>Информация для плагиаторов</b></u><br />
Перед опубликованием материалы сайта отправляются в <span style="font-size: large;">Яндекс</span>. Полное или частичное использование материалов сайта на сервисе Ответы@mail.ru запрещено при любых обстоятельствах. При нарушении этого условия обращения в администрацию Яндекс-каталога и каталога DMOZ последуют незамедлительно без предварительной переписки со службой поддержки сервиса.Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-37065579333174378192011-11-18T17:56:00.006+02:002012-01-11T20:28:46.591+02:00Алгебра. Система иррациональных уравненийНайдём решения системы иррациональных уравнений<br />
<br />
{√(x + y) − √(2·y − 5·x) = x<br />
{√(x + y) + √(2·y − 5·x) = y<br />
<a name='more'></a><br />
Сразу хочу сказать, что не существует универсальных способов решения, пригодных для любых трансцендентных и иррациональных уравнений. Одна задача отличается от другой, и от школьника и студента требуется думать и проявлять знания, опыт, интуицию, смекалку.<br />
<br />
Обратим внимание на подкоренные выражения, коэффициенты перед радикалами и правые части уравнений.<br />
<br />
Сложим оба уравнения системы: 2·√(x + y) = x + y.<br />
<br />
Решим полученное уравнение относительно x + y.<br />
<br />
x + y − 2·√(x + y) = √(x + y)·(√(x + y) − 2) = 0<br />
<br />
Приравняем к нулю поочерёдно каждый из множителей системы.<br />
<br />
[√(x + y) = 0<br />
[√(x + y) − 2 = 0<br />
⇓<br />
[x + y = 0<br />
[x + y = 4<br />
<br />
Выразим y через x<br />
<br />
[y = −x<br />
[y = 4 − x<br />
<br />
1. Подставим x + y = 0 (y = −x) в первое уравнение системы.<br />
<br />
−√(−7·x) = x<br />
<br />
Очевидно, что x ≤ 0; (√(−x))² = −x<br />
<br />
−x − √(−7·x) = (√(−x))² − √(−x)·√7 = √(−x)·(√(−x) − √7) = 0<br />
<br />
Снова поочерёдно приравняем к нулю каждый из множитилей.<br />
<br />
√(−x) = 0 ⇒ x₁ = y₁ = 0<br />
<br />
√(−x) − √7 = 0 ⇒ x₂ = −7; y₂ = 7<br />
<br />
2. Подставим x + y = 4 (y = 4 − x) в первое уравнение системы.<br />
<br />
2 − √(2·(4 − x) − 5·x) = 2 − √(8 − 7·x) = x<br />
<br />
Перенесём радикал в правую часть уравнения, а x — в правую.<br />
<br />
2 − x = √(8 − 7·x)<br />
<br />
Определим область допустимых значений<br />
<br />
{2 − x ≥ 0<br />
{8 − 7·x ≥ 0<br />
⇓<br />
{x ≤ 2<br />
{x ≤ 8/7<br />
⇓<br />
x ≤ 8/7<br />
<br />
Возведём обе части уравнения в квадрат и решим его относительно x<br />
<br />
x² − 4·x + 4 = 8 − 7·x ⇒ x² + 3·x − 4 = (x + 4)·(x − 1) = 0<br />
<br />
Оба корня принадлежат области допустимых значений.<br />
<br />
x₃ = −4; y₃ = 4 − (−4) = 8<br />
x₄ = 1; y₄ = 4 − 1 = 3<br />
<br />
Итого система иррациональных уравнений имеет 4 решения:<br />
<br />
(x; y) = {(−7; 7), (−4; 8), (0; 0), (1; 3)}<br />
<hr /><div style="text-align: center;"><span style="font-size: x-large;"><b>© <a href="http://5ballov.pp.ua/">http://5ballov.pp.ua/</a></b></span></div>Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-111823035591098968.post-78150763477005790592011-11-12T02:13:00.001+02:002011-11-12T02:14:42.099+02:00Решение дифференциальных уравнений высших порядковРассмотрим на двух примерах решение дифференциальных уравнений высших порядков.<br />
<br />
Проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка<br />
<br />
2·y·y'' – (y')² + y² = 0 при начальных условиях y(1) = y'(1) = 1<br />
<a name='more'></a><br />
Применим подстановку y' = dy/dx = p(y); p(1) = 1<br />
<br />
Тогда y'' = d(y')/dx = dy/dx · d(y')/y = p·dp/dy = ½ d(p²)/dy<br />
<br />
Уравнение запишется в виде: y·d(p²)/dy − p² + y² = 0<br />
<br />
Разделим теперь уравнение на y² > 0:<br />
<br />
(y·d(p²)/dy − p²)/y² + 1 = 0<br />
<br />
Первое слагаемое (дробь) представляет собою производную частного. Тогда<br />
<br />
d(p²/y)/dy + 1 = 0<br />
<br />
Разделим переменные и проинтегрируем с учётом начальных условий: при y = 1 p²/y = 1<br />
<br />
d(p²/y) + dy = 0 ⇒ p²/y − 1 + y − 1 = 0 ⇒ p²/y = 2 − y ⇒ p² = 2·y − y² p = dy/dx = +√(2·y − y²)<br />
<br />
Разделим переменные и выделим в подкоренном выражении полный квадрат:<br />
<br />
dy/√(2·y − y²) = dx ⇒ dy/√(1 − (y − 1)²) = dx<br />
<br />
Интегрируем повторно с учётом начальных условий: при x = 1 y = 1; y − 1 = 0<br />
<br />
arcsin(y − 1) = x − 1<br />
<br />
<u>y = sin(x − 1) + 1</u> — частное решение дифференциального уравнения.<br />
<hr />Решить дифференциальное уравнение второго порядка (x² + 1)·y'' = (y')² + 1 при начальных условиях y(1) = y'(1) = 1<br />
<br />
Хотя данное дифференциальное уравнение и допускает понижение порядка, применять подстановку в явном виде нет необходимости.<br />
<br />
Перепишем уравнение с учётом того, что y'' = d(y')/dx и разделим переменные:<br />
<br />
(x² + 1)·d(y')/dx = (y')² + 1 ⇒ d(y')/((y')² + 1) = dx/(x² + 1)<br />
<br />
Интегрируем с учётом начальных условий: при x = 1 y' = 1<br />
<br />
arctg(y') − arctg 1 = arctg x − arctg 1 ⇒ arctg(y') = arctg x ⇒ y' = dy/dx = x<br />
<br />
Разделим переменные и проинтегрируем повторно с учётом начальных условий:<br />
<br />
при x = 1 y = 1<br />
<br />
dy = x·dx ⇒ y − 1 = ½ (x² − 1²) = ½ (x² − 1)<br />
<br />
<u>y = ½ (x² + 1)</u> — частное решение дифференциального уравнения<br />
<hr /><div style="text-align: center;"><span style="font-size: x-large;"><b>© <a href="http://5ballov.pp.ua/">http://5ballov.pp.ua/</a></b></span></div>Integralhttp://www.blogger.com/profile/13976226933302988749noreply@blogger.com0