Згідно висновків квантової теорії атом гідрогену можна змоделювати у вигляді позитивного ядра (протона, розмірами якого в даній задачі можна знехтувати) та хмари негативного заряду електрона, об'ємна густина якого змінюється з відстанню від ядра за законом:
ρ(r) = −e/(π·a³) ·exp(−2·r/a), де r — відстань від центру ядра, a = 5,29·10⁻¹¹ м — радіус першої борівської орбіти в атомі гідрогену, e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл — елементарний заряд. Знайти напруженість E електричного поля на першій борівській орбіті.
ε₀ = 8,85·10⁻¹² Ф/м — електрична стала
Розв'язок
Заряд електрону є симетрично розподіленим навколо ядра.
Напруженість електричного поля знайдемо за допомогою теореми Остроградського-Гаусса. Проведемо навколо ядра сферичну Гауссову поверхню радіусу a. Ця поверхня є еквіпотенціальною. В кожній точці поверхні напруженість електричного поля однакова за модулем, вектор її спрямований нормально (перпендикулярно) до Гауссової поверхні.
Згідно теореми Остроградського-Гаусса напруженість електричного поля дорівнює
E = 1/(4·π·ε₀) ·Q/a²,
де Q = Q₁ + Q₂ = e + Q₂ — сумарний заряд, охоплений Гауссовою поверхнею,
e — заряд ядра,
Q₂ — частка заряду електрона, охоплена Гауссовою поверхнею.
Позначимо k = 1/(4·π·ε₀) = 9·10⁹ м/Ф
Тоді E = k·Q/a²
Заряд Q₂ можна знайти інтегруванням по об'єму кулі:
Враховуючи, що атом в цілому електронейтральний, отримаємо:
звідки
Застосуємо підстановку z = r/a.
Границі інтегрування: нижня z₁ = a/a = 1; верхня z₂ = ∞/a = ∞
Тоді
Двічі проінтегруємо частинами
Напруженість електричного поля на першій борівській орбіті
E = 5·k·e/(exp(2)·a²) = 5·1,6·9·10⁹·10⁻¹⁹/(exp(2)·(5,29·10⁻¹¹)²) = 350·10⁹ В/м
Комментариев нет:
Отправить комментарий