Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

воскресенье, 21 марта 2010 г.

Фізика. Електростатика. Теорема Остроградського-Гаусса

Задача
Згідно висновків квантової теорії атом гідрогену можна змоделювати у вигляді позитивного ядра (протона, розмірами якого в даній задачі можна знехтувати) та хмари негативного заряду електрона, об'ємна густина якого змінюється з відстанню від ядра за законом:
ρ(r) = −e/(π·a³) ·exp(−2·r/a), де r — відстань від центру ядра, a = 5,29·10⁻¹¹ м — радіус першої борівської орбіти в атомі гідрогену, e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл — елементарний заряд. Знайти напруженість E електричного поля на першій борівській орбіті.

ε₀ = 8,85·10⁻¹² Ф/м — електрична стала

Розв'язок
Заряд електрону є симетрично розподіленим навколо ядра.
Напруженість електричного поля знайдемо за допомогою теореми Остроградського-Гаусса. Проведемо навколо ядра сферичну Гауссову поверхню радіусу a. Ця поверхня є еквіпотенціальною. В кожній точці поверхні напруженість електричного поля однакова за модулем, вектор її спрямований нормально (перпендикулярно) до Гауссової поверхні.

Згідно теореми Остроградського-Гаусса напруженість електричного поля дорівнює

E = 1/(4·π·ε₀) ·Q/a²,

де  Q = Q₁ + Q₂ = e + Q₂сумарний заряд, охоплений Гауссовою поверхнею,
eзаряд ядра,
Q₂частка заряду електрона, охоплена Гауссовою поверхнею.

Позначимо k = 1/(4·π·ε₀) = 9·10⁹ м/Ф
Тоді   E = k·Q/a²

Заряд Q₂ можна знайти інтегруванням по об'єму кулі:

физика, фізика, теорема Остроградського-Гаусса, репетитор в Киеве, контрольные на заказ

Враховуючи, що атом в цілому електронейтральний, отримаємо:

физика, фізика, теорема Остроградського-Гаусса, репетитор в Киеве, контрольные на заказ

звідки

физика, фізика, теорема Остроградського-Гаусса, репетитор в Киеве, контрольные на заказ

Застосуємо підстановку   z = r/a.
Границі інтегрування:   нижня   z₁ = a/a = 1;   верхня   z₂ = ∞/a = ∞

Тоді   
физика, фізика, теорема Остроградського-Гаусса, репетитор в Киеве, контрольные на заказ

Двічі проінтегруємо частинами

физика, фізика, теорема Остроградського-Гаусса, репетитор в Киеве, контрольные на заказ

Напруженість електричного поля на першій борівській орбіті

E = 5·k·e/(exp(2)·a²) = 5·1,6·9·10⁹·10⁻¹⁹/(exp(2)·(5,29·10⁻¹¹)²) = 350·10⁹ В/м

Комментариев нет:

Отправить комментарий