Питерская интернет-олимпиада по математике

Разберём одно из заданий второго тура Питерской интернет-олимпиады по математике.

Решить неравенство

Выделим сперва полные квадраты в подкоренных выражениях

2·x + 12 + 8·√(2·x – 4) = 4² + 2·4·√(2·x – 4) + 2·x – 4 = (4 + √(2·x – 4))²

9 + x + 4·√(x + 5) = 2² + 2·2·√(x + 5) + x + 5 = (2 + √(x + 5))²

Области значений квадратных корней неотрицательны.
Исходное неравенство перепишется в виде:

4 + √(2·x – 4) – (2 + √(x + 5)) ≤ 3

√(2·x – 4) – √(x + 5) ≤ 1

Найдём теперь область допустимых значений

{2·x – 4 ≥ 0 {x + 5 ≥ 0

⇒

{x ≥ 2 {x ≥ –5

⇒

x ≥ 2

Перенесём вычитаемое (квадратный корень) в правую часть. При этом обе части неравенства станут положительными, что позволит обойтись без процедуры отделения лишних корней.

√(2·x – 4) ≤ 1 + √(x + 5)

Возведём обе части неравенства в квадрат.

2·x – 4 ≤ x + 6 + 2·√(x + 5)

x + 5 – 2·√(x + 5) – 15 ≤ 0

Обозначим t = √(x + 5) ≥ 0 и решим квадратное неравенство относительно t

t² – 2·t – 15 = (t + 3)·(t – 5) ≤ 0

0 ≤ t = √(x + 5) ≤ 5 ⇒ 0 ≤ x + 5 ≤ 25 ⇒ –5 ≤ x ≤ 20

С учётом области допустимых значений получим окончательный ответ:

2 ≤ x ≤ 20