Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

пятница, 12 марта 2010 г.

Питерская интернет-олимпиада по математике

Разберём одно из заданий второго тура Питерской интернет-олимпиады по математике.

Решить неравенство

математика, ЕГЭ, ЗНО, репетитор в Киеве, контрольные на заказ

Выделим сперва полные квадраты в подкоренных выражениях

2·x + 12 + 8·√(2·x – 4) = 4² + 2·4·√(2·x – 4) + 2·x – 4 = (4 + √(2·x – 4))²

9 + x + 4·√(x + 5) = 2² + 2·2·√(x + 5) + x + 5 = (2 + √(x + 5))²


Области значений квадратных корней неотрицательны.
Исходное неравенство перепишется в виде:

4 + √(2·x – 4) – (2 + √(x + 5)) ≤ 3

√(2·x – 4) – √(x + 5) ≤ 1


Найдём теперь область допустимых значений

{2·x – 4 ≥ 0
{x + 5 ≥ 0
 ⇒  {x ≥ 2
{x ≥ –5
 ⇒  x ≥ 2

Перенесём вычитаемое (квадратный корень) в правую часть. При этом обе части неравенства станут положительными, что позволит обойтись без процедуры отделения лишних корней.

√(2·x – 4) ≤ 1 + √(x + 5)

Возведём обе части неравенства в квадрат.

2·x – 4 ≤ x + 6 + 2·√(x + 5)

x + 5 – 2·√(x + 5) – 15 ≤ 0


Обозначим t = √(x + 5) ≥ 0 и решим квадратное неравенство относительно t

t² – 2·t – 15 = (t + 3)·(t – 5) ≤ 0

0 ≤ t = √(x + 5) ≤ 5 ⇒ 0 ≤ x + 5 ≤ 25 ⇒ –5 ≤ x ≤ 20


С учётом области допустимых значений получим окончательный ответ:

2 ≤ x ≤ 20

Комментариев нет:

Отправить комментарий