Система алгебраїчних рівнянь. Математика. Підготовка до ЗНО

Розв'яжемо систему рівнянь

{x³ + y³ = 26
{x²·y + x·y² = −6

Зауважимо, що система рівнянь є симетричною відносно невідомих змінних.
Розвинемо ліві частини обох рівнянь на множники. Для першого рівняння скористаємося формулою скороченого множення — формулою суми кубів.

{(x + y)·(x² −x·y + y²) = 26
{(x + y)·x·y = −6

Домножимо тепер друге рівняння системи на 2 та додамо його до першого рівняння.

{(x + y)·(x² + 2·x·y + y²) = 26 − 18 = 8
{(x + y)·x·y = −6

Знову розвинемо перше рівняння системи на множники за формулою скороченого множення — формулою квадрата суми.

{(x + y)³ = 8 = 2³ {(x + y)·x·y = −6

⇒

{x + y = 2 {(x + y)·x·y = −6

Розділимо тепер почленно друге рівняння системи на перше.

{x + y = 2
{x·y = ⁻⁶/₂ = −3

Розв'язок системи (з урахуванням симетрії) знайдемо за теоремою Вієта для квадратного рівняння.

(x, y) = {(−1; 3),  (3; −1)}