Диференційне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

Розв'яжемо диференційне рівняння першого порядку

(2·x²·y·ln y − x)·y′ = y

Розкриємо дужки, представимо y′ у вигляді dy/dx, домножимо обидві частини рівняння на dx та перенесемо усі змінні в ліву частину рівняння:

(2·x²·y·ln y − x)·dy/dx = y

(2·x²·y·ln y − x)·dy = y·dx

2·x²·y·ln y·dy − (x·dy + y·dx) = 0

Розділимо тепер обидві частини рівняння на (x·y)²:

2·ln y·dy/y − (x·dy + y·dx)/(x·y)² = 0

Застосуємо підстановку:   u = ln y;   v = x·y

Тоді   du = dy/y;   dv = x·dy + y·dx

Підстановка зводить диференційне рівняння першого порядку до диференційного рівняння з відокремлюваними змінними:

2·u·du − dv/v² = 0

Проінтегруємо рівняння:

∫(2·u·du − dv/v²) = C

u² + 1/v = C

Застосуємо тепер зворотню підстановку:

ln²y + 1/(x·y) = C
загальний інтеграл диференційного рівняння