Теория вероятностей. Производящая функция

Производится 4 выстрела с вероятностями попадания в цель p₁ = 0,6; p₂ = 0,4; р₃ = 0,5 и
p₄ = 0,7.

• составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
  X ∈ [0; 4] — общего числа попаданий в цель;
• построить многоугольник распределения;
• найти математическое ожидание MX и дисперсию DX общего числа попаданий в цель.

---

Определим соответствующие вероятности непопаданий:

q₁ = 1 – p₁ = 0,4;   q₂ = 1 – p₂ = 0,6;   q₃ = 1 – p₃ = 0,5;   q₄ = 1 – p₄ = 0,3

Составим производящую функцию вероятностей (генератрису):

φ₄(z) = (q₁ + z·p₁)·(q₂ + z·p₂)·(q₃ + z·p₃)·(q₄ + z·p₄) =
= (0,4 + z·0,6)·(0,6 + z·0,4)·(0,5 + z·0,5)·(0,3 + z·0,7) =
= 0,036 + 0,198·z + 0,38·z² + 0,302·z³ + 0,084·z⁴

Вероятность события X = k равна коэффициенту при z^k в производящей функции.

Составим закон распределения дискретной случайной величины X:

xk	0	1	2	3	4
Pk	0,036	0,198	0,38	0,302	0,084

Проверка.

∑P_k = 0,036 + 0,198 + 0,38 + 0,302 + 0,084 = 0,12 + 0,5 + 0,38 = 0,5 + 0,5 = 1

Строим многоугольник распределения вероятностей:

Математическое ожидание MX дискретной случайной величины X найдём по формуле сложения математических ожиданий:

MX = p₁ + p₂ + р₃ + p₄ = 0,6 + 0,4 + 0,5 + 0,7 = 2,2

Дисперсию DX дискретной случайной величины X найдём по формуле сложения дисперсий независимых величин:

DX = p₁·q₁ + p₂·q₂ + р₃·q₃ + p₄·q₄ = 0,6·0,4 + 0,4·0,6 + 0,5·0,5 + 0,7·0,3 =
= 0,24 + 0,24 + 0,25 + 0,21 = 0,94

---

©   http://5ballov.pp.ua/