Теория вероятностей. Схема урн
Розглянемо дві задачі з теорії ймовірностей.Задача 1
В урне содержатся 5 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Три шара наудачу вынимают из урны. Найти вероятность того, что хотя бы два из них будут одного цвета.
В урні містяться 5 білих, 3 чорних та 5 червоних куль. Три кулі навмання виймають з урни. Знайти ймовірніть того, що принаймні дві з куль будуть одного кольору.
Випадковій події A = {принаймні дві кулі одного кольору} протилежна випадкова подія
B = {усі три кулі різних кольорів}.
Події A та B утворюють повну групу подій, тому шукана ймовірність дорівнюватиме:
P(A) = 1 − P(B)
Будемо випадково відбирати три кулі. Побудуємо класичну модель досліду, у якому кожен випадок — це один з варіантів розподілу куль. Якщо послідовність відбору не береться до уваги, то загальне число n випадків в такій моделі дорівнює числу різних комбінацій із 13 по 3:
n = C³₁₃ = 13!/(3!·10!) = 11·12·13/(1·2·3) = 286
Серед знайденого числа способів відбору куль знайдемо число варіантів m, сприятливих події B. Це такі варіанти, в яких одна куля взята серед 5 білих, одна — серед 3 чорних і одна — серед 5 червоних. исло m знайдемо за комбінаторним принципом добутку:
m = 5·3·5 = 75
Тоді ймовірність того, що усі кулі різних кольорів обчислюється за класичною формулою:
P(B) = m/ռ = ⁷⁵/₂₈₆
Ймовірність того, що принаймні дві кулі одного кольору,
P(A) = 1 − P(B) = 1 − ⁷⁵/₂₈₆ = ²¹¹/₂₈₆
Задача 2
В первой урне находятся 3 шара белого и 2 шара черного цвета, во второй — 3 белого и 1 синего, в третьей — 5 белого и 2 красного цвета. Из первой и второй урн наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
В першій урні розташовані 3 кулі білого та 2 кулі чорного кольору, в другій — 3 білого та 1 синього, в третій — 5 білого та 2 червоного кольору. З першої та друої урн навмання витягують по одній кулі та перекладають в третю. Після цього з третьої витягують одну кулю. Знайти ймовірність того, що вона виявиться білою.
Конечно, можно пойти и классическим путём: рассмотреть статистические гипотезы о составе шаров (по цвету), переложенных в третью урну, и применить формулу полной вероятности. Однако с увеличением количества урн число элементарных гипотез возрастает в геометрической прогрессии.
Решим задачу другим способом, исходя из классического определения вероятности.
Вероятности переложить белый шар из первой и второй урн равны соответственно:
p₁ = ³/₅; p₂ = ¾
Математическое ожидание числа белых шаров в третьей урне после перекладывания найдём по формуле сложения вероятностей:
m = 5 + p₁ + p₂ = 5 + ³/₅ + ¾ = ¹²⁷/₂₀
Общее число шаров в третьей урне после перекладывания n = 7 + 2 = 9
Априорную вероятность того, что из третьей урны будет извлечён белый шар, вычислим по классической формле:
P = m/ռ = ¹²⁷/₂₀ ÷ 9 = ¹²⁷/₁₈₀
Звичайно, можна піти й класичним шляхом: розглянути статистичні гіпотези про склад куль (за кольором), перекладених до третьої урни, і застосувати формулу повної ймовірності. Проте із збільшенням кількості урн число елементарних гіпотез зростає в геометричній прогресії.
Розв`яжемо задачу іншим способом, виходячи з класичного визначення ймовірності.
Ймовірності перекласти білу кулю з першої та другої урн дорівнюють відповідно:
p₁ = ³/₅; p₂ = ¾
Математичне сподівання числа білих куль в третій урні після перекладання знайдемо за формулою додавання ймовірностей:
m = 5 + p₁ + p₂ = 5 + ³/₅ + ¾ = ¹²⁷/₂₀
Загальне число куль в третій урні після перекладання n = 7 + 2 = 9
Апріорну ймовірність того, що з третьої урни буде витягнена біла куля, обчислимо за класичною формулою:
P = m/ռ = ¹²⁷/₂₀ ÷ 9 = ¹²⁷/₁₈₀
При полном или частичном копировании материалов сайта обязательно размещение прямых, открытых для роботов поисковых систем, ссылок на главную страницу сайта http://5ballov.pp.ua/ и на страницу записи.
Комментариев нет:
Отправить комментарий