Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

вторник, 13 апреля 2010 г.

Теорія ймовірностей. Схема урн

Теория вероятностей. Схема урн
Розглянемо дві задачі з теорії ймовірностей.

Задача 1

В урне содержатся 5 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Три шара наудачу вынимают из урны. Найти вероятность того, что хотя бы два из них будут одного цвета.

В урні містяться 5 білих, 3 чорних та 5 червоних куль. Три кулі навмання виймають з урни. Знайти ймовірніть того, що принаймні дві з куль будуть одного кольору.


Випадковій події A = {принаймні дві кулі одного кольору} протилежна випадкова подія
B = {усі три кулі різних кольорів}.
Події A та B утворюють повну групу подій, тому шукана ймовірність дорівнюватиме:

P(A) = 1 − P(B)

Будемо випадково відбирати три кулі. Побудуємо класичну модель досліду, у якому кожен випадок — це один з варіантів розподілу куль. Якщо послідовність відбору не береться до уваги, то загальне число n випадків в такій моделі дорівнює числу різних комбінацій із 13 по 3:

n = C³₁₃ = 13!/(3!·10!) = 11·12·13/(1·2·3) = 286

Серед знайденого числа способів відбору куль знайдемо число варіантів m, сприятливих події B. Це такі варіанти, в яких одна куля взята серед 5 білих, одна — серед 3 чорних і одна — серед 5 червоних. исло m знайдемо за комбінаторним принципом добутку:

m = 5·3·5 = 75

Тоді ймовірність того, що усі кулі різних кольорів обчислюється за класичною формулою:

P(B) = m = ⁷⁵/₂₈₆

Ймовірність того, що принаймні дві кулі одного кольору,

P(A) = 1 − P(B) = 1 − ⁷⁵/₂₈₆ = ²¹¹/₂₈₆


Задача 2

В первой урне находятся 3 шара белого и 2 шара черного цвета, во второй — 3 белого и 1 синего, в третьей — 5 белого и 2 красного цвета. Из первой и второй урн наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

В першій урні розташовані 3 кулі білого та 2 кулі чорного кольору, в другій — 3 білого та 1 синього, в третій — 5 білого та 2 червоного кольору. З першої та друої урн навмання витягують по одній кулі та перекладають в третю. Після цього з третьої витягують одну кулю. Знайти ймовірність того, що вона виявиться білою.


Конечно, можно пойти и классическим путём: рассмотреть статистические гипотезы о составе шаров (по цвету), переложенных в третью урну, и применить формулу полной вероятности. Однако с увеличением количества урн число элементарных гипотез возрастает в геометрической прогрессии.
Решим задачу другим способом, исходя из классического определения вероятности.

Вероятности переложить белый шар из первой и второй урн равны соответственно:

p₁ = ³/₅;   p₂ = ¾

Математическое ожидание числа белых шаров в третьей урне после перекладывания найдём по формуле сложения вероятностей:

m = 5 + p₁ + p₂ = 5 + ³/₅ + ¾ = ¹²⁷/₂₀

Общее число шаров в третьей урне после перекладывания   n = 7 + 2 = 9

Априорную вероятность того, что из третьей урны будет извлечён белый шар, вычислим по классической формле:

P = m = ¹²⁷/₂₀ ÷ 9 = ¹²⁷/₁₈₀

Звичайно, можна піти й класичним шляхом: розглянути статистичні гіпотези про склад куль (за кольором), перекладених до третьої урни, і застосувати формулу повної ймовірності. Проте із збільшенням кількості урн число елементарних гіпотез зростає в геометричній прогресії.
Розв`яжемо задачу іншим способом, виходячи з класичного визначення ймовірності.

Ймовірності перекласти білу кулю з першої та другої урн дорівнюють відповідно:

p₁ = ³/₅;   p₂ = ¾

Математичне сподівання числа білих куль в третій урні після перекладання знайдемо за формулою додавання ймовірностей:

m = 5 + p₁ + p₂ = 5 + ³/₅ + ¾ = ¹²⁷/₂₀

Загальне число куль в третій урні після перекладання   n = 7 + 2 = 9

Апріорну ймовірність того, що з третьої урни буде витягнена біла куля, обчислимо за класичною формулою:

P = m = ¹²⁷/₂₀ ÷ 9 = ¹²⁷/₁₈₀


©   http://5ballov.pp.ua/


При полном или частичном копировании материалов сайта обязательно размещение прямых, открытых для роботов поисковых систем, ссылок на главную страницу сайта http://5ballov.pp.ua/ и на страницу записи.

Комментариев нет:

Отправить комментарий