ЕГЭ по математике. Задача на теорию чисел.

И вновь ЕГЭ, и вновь задание С6 по математике…
С каждым разом эти задания становятся всё страшнее и страшнее, так что даже не знаю, как сама буду чувствовать себя на экзамене… Но пока что не волнуемся, а разбираем)

Условие:
х — пятизначное натуральное число, состоящее из цифр от 1 до 9 взаимнопростое с числом В = 10⁵ − 1. Найдите количество различных чисел, включая х, взаимнопростых с В, получаемых из х циклической перестановкой цифр.

---

Решение.
Задача разбивается на несколько подзадач, которые необходимо решить.

1) Циклическая перестановка — это такая перестановка, при которой «соседи» у одной цифры остаются неизменными (не считая первой и последней цифр).
Этот пункт простой)

2) Докажем, что одна из перестановок действительно будет взаимнопроста с В.

Пусть х = х₅х₄х₃х₂х₁

Тогда можем записать, что:

х = х₅х₄х₃х₂х₁ = х₅·10⁴ + х₄·10³ + х₃·10² + х₂·10 + х₁

Теперь запишем, как можно представить одну из перестановок числа х. Для этого будем использовать число х, к которому в ещё один разряд справа мы приписали 0:

х₄х₃х₂х₁х₅ = х₅х₄х₃х₂х₁0 − х₅00000 + х₅ = х·10 − х₅·(10⁵ − 1) = х·10 − х₅·В

Однако по условию х взаимнопростое с В, и 10 не является делителем В. А так как х₅·В кратно В, а х·10 не кратно В, то (х·10 − х₅·В) взаимнопросто с В, и т. д.

3) А как же другие перестановки? Всё тут уже просто. Если мы за начальное число возьмём х₄х₃х₂х₁х₅, то аналогичным способом сможем доказать утверждение и для других перестановок. Это доказательство уже можно опустить.

4) Теперь докажем, что при перестановке мы не получим одинаковые числа.
а) Если все цифры числа х различны — это очевидно;
б) Предположим, имеем 2, 3, 4 одинаковых цифры. «Удачной» перестановки, когда получим 2 одинаковых числа не произойдёт, так как количество цифр нечётное. Аналогично, если имеем 2 различных пары одинаковых цифр. Аналогично, если пара и тройка.
в) Если все цифры одинаковые, то:

х = ааааа;   В = 99999

И они должны быть взаимнопросты. Однако это заведомо неверно, так как оба эти числа кратны 11111. Противоречие.

Итак действительно, при перестановке мы не получим одинаковых чисел.
5) Различными циклическими перестановками мы можем получить 5 различных чисел.

Ответ: 5 чисел