Интегрирование иррациональных выражений. Тригонометрическая подстановка

Найдём неопределённый интеграл от иррационального выражения:

I = ∫dx/(x³·√(x² − 1))

Можно было бы рассмотреть интеграл от дифференциального и применить подстановку Чебышева. Мы же применим тригонометрическую подстановку.

x = 1/cos t;   dx = sin t·dt/cos²t

√(x² − 1) = √(1/cos²t − 1) = √(sin²t/cos²t) = sin t/cos t

Тогда   I = ∫cos²t·dt

Воспользуемся формулой понижения степени и проинтегрируем.

I = ½ ∫(1 + cos(2·t))·dt = ½ t + ¼ sin(2·t) + C

Обратимся теперь в формуле синуса двойного аргумента и выразим синус через косинус на основании основного тригонометрического тождества.

I = ½ (t + sin t·cos t) + C = ½ (t + cos t·√(1 − cos²t)) + C

Вёрнёмся теперь к обратной подстановке.

I = ½ (arccos(¹/ₓ) + ¹/ₓ ·√(1 − ¹/ₓ²)) + C

Окончательно:   I = ½ (arccos(¹/ₓ) + ¹/ₓ² ·√(x² − 1)) + C

---

©   http://5ballov.pp.ua/