Интернет-олимпиада по математике. Высшая школа экономики

Разберём одно из заданий интернет-олимпиады по математике Высшей школы экономики. Это задание из курса линейной алгебры вызывало затруднения у части участников олимпиады.

---

Найти все значения параметра p, при которых найдётся не менее двух различных значений параметра q, таких, что система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{(p − 4)·x + (p² − 7·p + 12)·y = q² − 6·q + 5
{(p − 1)·x + 8·y = 4·p·q

При решении задания не использовать теорему Кронекера-Капелли и формулы Крамера.
Перед нами система двух линейных (относительно неизвестных x, y) уравнений вида

{a₁·x + b₁·y = c₁
{a₂·x + b₂·y = c₂,

где   a₁ = p − 4;   b₁ = p² − 7·p + 12;   c₁ = q² − 6·q + 5
a₂ = p − 1;   b₂ = 8;   c₂ = 4·p·q

Каждое из уравнений определяет (в невырожденном случае) прямую на координатной плоскости. Чтобы система уравнений имела бесконечное множество решений, прямые, определяемые уравнениями, должны совпадать. Это значит, что они должны:

1. быть параллельными;
2. иметь общую точку.

Необходимым и достаточным условием параллельности прямых является пропорциональность коэффициентов при неизвестных:

a₁/a₂ = b₁/b₂   или   a₁·b₂ − a₂·b₁ = 0

Вырожденный случай рассмотрим отдельно.

Составим уравнение и решим его относительно p:

a₁·b₂ − a₂·b₁ = (p − 4)·8 − (p − 1)·(p² − 7·p + 12) = 0

8·(p − 4) − (p − 1)·(p − 3)·(p − 4) = 0

((p − 2)² − 1 − 8)·(p − 4) = ((p − 2)² − 3²)·(p − 4) = (p + 1)·(p − 4)·(p − 5) = 0

Уравнение имеет три корня:   p₁ = −1;   p₂ = 4;   p₃ = 5

При   p₁ = −1   получим систему уравнений:

{−5·x + 20·y = q² − 6·q + 5
{−2·x + 8·y = −4·q

Вычитая почленно из первого уравнения системы, умноженного на 2, второе уравнение, умноженное на 5, получим:

2·(q² − 6·q + 5) + 20·q = 2·(q² + 4·q + 5) = 2·((q + 2)² + 1) = 0

Уравнение не имеет решений относительно q, поскольку его левая часть строго положительна.

При   p₂ = 4   получим систему уравнений:

{0·x + 0·y = q² − 6·q + 5
{3·x + 8·y = 16·q

Второе уравнение полученной системы определяет бесконечное множество точек на прямой 3·x + 8·y = 16·q. Первое же уравнение системы является вырожденным и будет определять всё множество точек координатной плоскости при условии равенства нулю его правой части. В этом случае система будет иметь бесконечное множество решений.
Приравняем к нулю правую часть первого уравнения системы:

q² − 6·q + 5 = (q − 2)·(q − 3) = 0

Уравнение имеет два решения относительно q.

Рассмотрим третий случай. При   p₃ = 5   система уравнений принимает вид:

{x + 2·y = q² − 6·q + 5
{4·x + 8·y = 20·q

Вычтем второе уравнение системы из первого уравнения, умноженного на 4:

4·(q² − 6·q + 5) − 20·q = 4·(q² − 11·q + 5) = 0

Составленное квадратное уравнение имеет два решения относительно q, поскольку его дискриминант положителен:

D = 11² − 4·5 = 121 − 20 = 101 > 0

Ответ:   p = 4   и   p = 5

©   http://5ballov.pp.ua/