Задание по математике из олимпиады МФТИ

Решить систему уравнений:
{3x² − 2y² + 12z − 15y = 94
{2x² + z² − 20y = 34
{2x² − y² − 14x − 5y = −50
Решение:
С первого взгляда система выглядит очень страшно и даже непонятно, с какой стороны к ней можно подойти. 

Но не будем пугаться и сложим второе и третье уравнения системы:2x² + z² - 20y + 2x² - y² - 14x - 5y = 34 - 50 

Приведём подобные:

4x² + z² - 14х - 25y = - 16

Теперь из полученного уравнения почленно вычтем первое уравнение системы:

4x² - y² + z² - 14х - 25y - (3x² - 2y² + 12z - 15y) = -16 - 94

Приведём подобные и перенесём всё в левую часть:

x² - 14х + y² - 10y + z² - 12z +110 = 0

Ну а теперь  сгруппируем слагаемые следующим образом:

(x² - 14х + 49) + (y² - 10у + 25) + (z² - 12z + 36) = 0

Несложно заметить, что каждая скобка представляет собой квадрат суммы. Свернём все скобки в формулу:

(х - 7)² + (у - 5)² + (z - 6)² = 0

Но сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда все слагаемые равны нулю.

х = 7, у = 5, z = 6

При подстановке в первоначальную систему получаем:

3·49 - 2·25 + 12·6 - 15·5 = 94,    94 = 94

2·49 + 36 - 20·5 = 34,    34 = 34

2·49 - 25 - 14·7 - 5·5 = - 50,       - 50 = - 50

Всё верно.

Ответ:

х = 7, у = 5, z = 6

_____________________________________________________
За грамотным выполнением контрольных работ без посредников и плагиата обращайтесь!

Звоните прямо сейчас

2427176 (Киев), (067)7384545