Интегрирование тригонометрических выражений

Найдём неопределённый интеграл

Приме́ним сперва формулу синуса двойного аргумента:

2·sin x·cos x = sin(2·x)

Домножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на   sin(2·x),   воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и внесём   cos(2·x)   под знак дифференциала.

Подстановка   t = cos(2·x).

Тогда   I = −4·∫dt/(1 − t²)²

Разложим дробь в сумму элементарных дробей методом неопределённых коэффициентов Лагранжа.

−4/(1 − t²)² = A·(1/(t − 1) − 1/(t + 1)) +

+ B·(1/(t + 1)² + 1/(t − 1)²)

2·A/(t² − 1) + 2·B·(t² + 1)/(t² − 1)² = −4/(t² − 1)²

A·(t² − 1) + B·(t² + 1) = (A + B)·t² + (B − A) = −2

A = −B = 1

−4/(1 − t²)² = (1/(t − 1) − 1/(t + 1)) − (1/(t + 1)² + 1/(t − 1)²)

Тогда

I = ∫(1/(t − 1) − 1/(t + 1))·dt − ∫(1/(t + 1)² + 1/(t − 1)²) =

= ln|C²·(1 − t)/(1 + t)| + 1/(1 + t) − 1/(1 − t) =

= ln|C²·(1 − t)²/(1 − t²)| − 2·t/(1 − t²) =

= ln|C²·(1 − cos(2·x))²/(1 − cos²(2·x))| −

− 2·cos(2·x)/(1 − cos²(2·x)) =

= ln|C²·(1 − cos(2·x))²/sin²(2·x)| −

− 2·cos(2·x)/sin²(2·x) =

= 2·ln|C·(1 − cos(2·x))/sin(2·x)| − 2·cos(2·x)/sin²(2·x)

Воспользуемся ещё раз формулами синуса и косинуса двойного аргумента.

1 − cos(2·x) = 2·sin²x

Тогда

(1 − cos(2·x))/sin(2·x) = 2·sin²x/(2·sin x·cos x) =

= sin x/cos x = tg x

I = 2·ln|C·tg x| − 2·cos(2·x)/sin²(2·x)

---

Контрольную работу по математике, физике заказать можно на нашем сайте