Физика. Электростатика. Закон Кулона

Задача

Два одинаково заряженных шарика массой по 0,5 грамма, подвешенные на нитях длиною по 1м, закреплённые в одной точке, разошлись на 4 см друг от друга. Найти заряды шариков.

Дано

m = 0,5 г = 5·10⁻⁴ кг — масса шарика
ℓ = 1м — длина нити
r = 4 см = 0,04 м — расстояние, на которое разошлись шарики
ε₀ = 8,85·10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная
g = 9,81 м/с² — ускорение свободного падения

---

Q — ? — заряд шарика

Анализ

Оба шарика находятся в равных условиях. Рассмотрим равновесие любого из них, например, правого. Правый шарик находится в равновесии под действием плоской системы трёх сходящихся сил:

• силы тяжести P = m·g, направленной вертикально вниз;
• силы электростатического взаимодействия с левым шариком F, направленной горизонтально вправо;
• силы натяжения нити T, направленной вверх вдоль нити.

Согласно первому закону Ньютона материальная точка находится в равновесии тогда, когда векторная (геометрическая) сумма приложенных к нему сил равна нулю.
Составим математическое выражение первого закона Ньютона для находящегося в равновесии первого шарика.

→		→		→
P	+	F	+	T	= 0

Подвешенный на нити шарик в нашем случае может перемещаться лишь перпендикулярно к нити.
Обозначим через 2·α угол между нитями. Проведём координатную ось x перпендикулярно к нити и спроектируем векторное равенство на эту ось. При этом проекция силы натяжения нити на ось x обратится в ноль. Подобный выбор системы отсчёта является рациональным и поможет нам прийти к верному решению за минимальное число действий.
Найдём проекции действующих на правый шарик сил на ось x.

Pₓ = −P·sin α;  Fₓ = F·cos α;  Tₓ = 0

Составим скалярное уравнение и выразим из него силу взаимодействия между шариками F.

−P·sin α + F·cos α = 0

F = P·sin α/cos α = P·tg α

Согласно закону Кулона сила электростатического взаимодействия между шариками равна

F = (1/(4·π·ε₀))·(Q/r)²

Обозначим  k = 1/(4·π·ε₀) = 9·10⁹ м/Кл. Тогда F = k·(Q/r)².

Оценим значение угла α:  sin α = r/(2·ℓ) = 0,04/(2·1) = 0,02 ≪ 1

Поскольку угол α мал, то tg α ≅ sin α = r/(2·ℓ).

Тогда   k·(Q/r)² = m·g·r/(2·ℓ)

Решая составленное равенство относительно Q, получим окончательно:



Решение

Q = 0,04·√(5·10⁻⁴·9,81·0,02/(9·10⁹)) = 4,2·10⁻⁹ Кл = 4,2 нКл

Ответ:   Q = 4,2 нКл