Как обычно, часть В у моих одноклассников и меня затруднения не вызвала. Сто´ит только обратить внимание на задание, связанное с производной функции. На графике представлена функция f(x) и касательная к ней в точке х₀ . Нужно определить значение производной функции f(x) в точке х₀. Задачка решается устно, нужно вспомнить всего лишь один факт. Если у = k·x + b — уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х₀, то производная функции f(x) в точке х₀ = k. Вот и всё решение.
Обратимся к заданию части С 1 варианта.
№1 Решите систему уравнений
{√(cosy) ·√(6x - x² - 8) = 0
{√(sinx) · √(2 - y - y²) = 0
Особого труда данная система не вызывает, но… Равенство нулю произведения двух множителей выполняется тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом СУЩЕСТВУЕТ!
Итак, ВСЕ подкоренные выражения не меньше нуля.
- cos y = 0 при у = π/2 + π·k, k ∈ ℤ
Но 2 − y − y² ≥ 0, то есть у ∈ [−2; 1]
Отсюда можно понять, что k = −1; у = −π/2
- 6x − x² − 8 = 0, х₁ = 2, х₂ = 4
Но sin x ≥ 0, а sin 4 < 0, x = 2
- 2 − y − y² = 0, у₁ = −2, у₂ = 1
Но cos y ≥ 0, а cos(−2) = cos 2 < 0, y = 1
- sinx = 0, x = π·n, n ∈ ℤ
Но 6x − x² − 8 ≥ 0, то есть х ∈ [2; 4]
Отсюда можно понять, что n = 1, х = π.
Ну и теперь получаем в итоге 2 пары решений (не 4, а 2!!!). Проверить это можно подстановкой, ну или свести первоначальную систему к равносильной, из которой будет видно, что две другие пары не подходят).
Ответ: (π; −π/2) и (2; 1)
№2 В кубе АВСDA₁B₂C₃D₄ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BD₁.
Данная задача сложности не вызывает вообще. Нам нужно найти высоту в треугольнике СBD₁, СВ = 1, BD₁ = √3, СD₁ = √2.
Пусть СН — высота. Тогда пусть ВН = х, тогда BD₁ = √3 − х.
По теореме Пифагора: СН² = 1 − х² = 2 − (√3 − х)²
х² = ¹/₃
СН² = 1 − ¹/₃ = ²/₃
Ответ: СН = √(²/₃)
№3. Решите неравенство
7−|x − 3|·log₂(6x - x² - 7) ≥ 1
Честно говоря, я не сразу догадалась, как решать это «милое» неравенство… Однако, оказалось в итоге все очень доступно и просто.Логарифм — функция возрастающая, поэтому логарифм в неравенстве принимает наибольшее значение при максимальном значении у = 6x - x² - 7. у — квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой опущены вниз. Поэтому max у = у(х₀), где х₀ — абсцисса вершины параболы.
х₀ = −6/(−2) = 3, у(3) = 2, log₂2 = 1.
log₂(6x - x² - 7) ≤ 1
Теперь рассмотрим степенную функцию. Это также возрастающая функция, причём показатель степени не больше нуля. Максимальное значение достигается при х = 3, когда показатель степени равен 0. В этом случае max 7−|x − 3| = 1.
Заметим, что в первоначальном неравенстве нам даны 2 множителя, каждый из которых не больше единицы. Но произведение чилел меньших 1 заведомо меньше 1. Поэтому неравенство выполняется лишь в том случае, когда оба множителя равны 1. Как было выше показано, это происходит при х = 3.
Ответ: х = 3
Надеюсь, что диагностическую работу написали все хорошо и показали свой наилучший результат!!!
Комментариев нет:
Отправить комментарий