Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

среда, 17 февраля 2010 г.

ЕГЭ математика. Диагностическая работа №3

И вот вновь в школах России должна была пройти диагностическая работа по математике в форме ЕГЭ. Точно не уверена по поводу ВСЕХ школ России, но в городе Екатеринбурге в моей школе по крайней мере, все 11-классники эту работу написали.
Как обычно, часть В у моих одноклассников и меня затруднения не вызвала. Сто´ит только обратить внимание на задание, связанное с производной функции. На графике представлена функция f(x) и касательная к ней в точке х₀ . Нужно определить значение производной функции f(x) в точке х₀. Задачка решается устно, нужно вспомнить всего лишь один факт. Если   у = k·x + b — уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х₀, то производная функции f(x) в точке х₀ = k. Вот и всё решение.

Обратимся к заданию части С 1 варианта.

№1 Решите систему уравнений

{√(cosy) ·√(6x - x² - 8) = 0
{√(sinx) · √(2 - y - y²) = 0


Особого труда данная система не вызывает, но… Равенство нулю произведения двух множителей выполняется тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом СУЩЕСТВУЕТ!
Итак, ВСЕ подкоренные выражения не меньше нуля.

  1. cos y = 0   при   у = π/2 + π·k,   k ∈ ℤ
    Но   2 − y − y² ≥ 0, то есть у ∈ [−2; 1]

    Отсюда можно понять, что k = −1;   у = −π/2

  2. 6x − x² − 8 = 0,   х₁ = 2,   х₂ = 4

    Но   sin x ≥ 0,   а   sin 4 < 0,   x = 2

  3. 2 − y − y² = 0,   у₁ = −2,   у₂ = 1

    Но   cos y ≥ 0, а cos(−2) = cos 2 < 0,   y = 1

  4. sinx = 0,   x = π·n,   n ∈ ℤ

    Но 6x − x² − 8 ≥ 0, то есть х ∈ [2; 4]

Отсюда можно понять, что   n = 1,   х = π.

Ну и теперь получаем в итоге 2 пары решений (не 4, а 2!!!). Проверить это можно подстановкой, ну или свести первоначальную систему к равносильной, из которой будет видно, что две другие пары не подходят).

Ответ:   (π; −π/2)   и   (2; 1)


№2 В кубе АВСDA₁B₂C₃D₄ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BD₁.

Данная задача сложности не вызывает вообще. Нам нужно найти высоту в треугольнике СBD₁, СВ = 1, BD₁ = √3, СD₁ = √2.
Пусть   СН — высота. Тогда пусть ВН = х, тогда BD₁ = √3 − х.
По теореме Пифагора:   СН² = 1 − х² = 2 − (√3 − х)²
х² = ¹/₃
СН² = 1 − ¹/₃ = ²/₃

Ответ: СН = √(²/₃)


№3. Решите неравенство
7−|x − 3|·log₂(6x - x² - 7) ≥ 1
Честно говоря, я не сразу догадалась, как решать это «милое» неравенство… Однако, оказалось в итоге все очень доступно и просто.
Логарифм — функция возрастающая, поэтому логарифм в неравенстве принимает наибольшее значение при максимальном значении у = 6x - x² - 7. уквадратичная функция, её график — парабола, ветви которой опущены вниз. Поэтому max у = у(х₀), где х₀ — абсцисса вершины параболы.
х₀ = −6/(−2) = 3,   у(3) = 2,   log₂2 = 1
.

log₂(6x - x² - 7) ≤ 1

Теперь рассмотрим степенную функцию. Это также возрастающая функция, причём показатель степени не больше нуля. Максимальное значение достигается при х = 3, когда показатель степени равен 0. В этом случае   max 7−|x − 3| = 1.
Заметим, что в первоначальном неравенстве нам даны 2 множителя, каждый из которых не больше единицы. Но произведение чилел меньших 1 заведомо меньше 1. Поэтому неравенство выполняется лишь в том случае, когда оба множителя равны 1. Как было выше показано, это происходит при х = 3.
Ответ: х = 3
Надеюсь, что диагностическую работу написали все хорошо и показали свой наилучший результат!!!

Комментариев нет:

Отправить комментарий