y·y″ + (y′)² = 0
Данное дифференциальное уравнение можно решить минимум двумя способами.
Первый способ
Поскольку уравнение не содержит явно аргумента x, — приме́ним подстановку, допускающую понижение порядка.
Пусть y′ = dy/dx = p(y).
Тогда y″ = dp/dx = dy/dx · dp/dy = p· dp/dy
p·y· dp/dy + p² = p·(y· dp/dy + p) = 0
Одно из решений дифференциального уравнения
p = dy/dx = 0; y = const
Приравняем к нулю второй множитель:
y· dp/dy + p = 0
Разделим переменные и проинтегрируем.
dp/p + dy/y = 0
∫(dp/p + dy/y) = ln|2·p·y/C₁| = 0
Пропотенцируем и решим полученное равенство относительно p:
2·p = 2·dy/dx = C₁/y
Разделим переменные и проинтегрируем повторно:
2·y·dy = C₁·dx
∫2·y·dy = C₁·∫dx
y² = C₁·x + C₂ — общий интеграл дифференциального уравнения.
Второй способ
Приме́ним подстановку p = (y²)′ = 2·y·y′
Тогда p′ = dp/dx = 2·(y·y″ + (y′)²) = 0,
откуда p = (y²)′ = C₁
y² = C₁·∫dx = C₁·x + C₂
За грамотным выполнением контрольных работ без посредников и плагиата обращайтесь ко мне.
Звоните прямо сейчас 2427176 (Киев), (067)7384545
Валентин
Комментариев нет:
Отправить комментарий