Дифференциальное уравнение

Найдём общее решение дифференциального уравнения

y·y″ + (y′)² = 0

Данное дифференциальное уравнение можно решить минимум двумя способами.

Первый способ

Поскольку уравнение не содержит явно аргумента x, — приме́ним подстановку, допускающую понижение порядка.

Пусть   y′ = dy/dx = p(y).

Тогда   y″ = dp/dx = dy/dx · dp/dy = p· dp/dy

p·y· dp/dy + p² = p·(y· dp/dy + p) = 0

Одно из решений дифференциального уравнения

p = dy/dx = 0;   y = const

Приравняем к нулю второй множитель:

y· dp/dy + p = 0

Разделим переменные и проинтегрируем.

dp/p + dy/y = 0

∫(dp/p + dy/y) = ln|2·p·y/C₁| = 0

Пропотенцируем и решим полученное равенство относительно p:

2·p = 2·dy/dx = C₁/y

Разделим переменные и проинтегрируем повторно:

2·y·dy = C₁·dx

∫2·y·dy = C₁·∫dx

y² = C₁·x + C₂ — общий интеграл дифференциального уравнения.

Второй способ

Приме́ним подстановку   p = (y²)′ = 2·y·y′

Тогда   p′ = dp/dx = 2·(y·y″ + (y′)²) = 0,

откуда   p = (y²)′ = C₁

y² = C₁·∫dx = C₁·x + C₂

---

За грамотным выполнением контрольных работ без посредников и плагиата обращайтесь ко мне.
Звоните прямо сейчас 2427176 (Киев), (067)7384545

Валентин