Физика. Закон сохранения энергии

Тело начинает двигаться вверх по наклонной плоскости со скоростью v₀ = 10 м/с. На высоте h = 1 м оно упруго ударяется о преграду. Определить скорость тела в момент, когда оно вновь окажется у основания наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30°, коэффициент трения f = 0,3.

---

Обозначим через m массу тела, g = 9,81 м/с² — ускорение свободного падения.
Решим задачу с применением закона сохранения энергии.  В курсе теоретической механики — используем теорему об изменении кинетической энергии.
Тело движется вверх, а затем вниз по наклонной плоскости под действием трёх сил:

• силы тяжести P = m·g, направленной вертикально вниз;
• нормальной реакции плоскости N, направленной вверх перпендикулярно к плоскости;
• силы трения F, направленной на каждом участке траектории противоположно перемещению тела.

 Согласно закону сохранения энергии изменение кинетической энергии тела равно сумме работ внешних сил:

ΔT = T − T₀ = ∑A(Fk) = A(P) + A(N) + A(F),

где T₀ = ½·m·v₀² — начальная кинетическая энергия тела;
T = ½·m·v² — конечная кинетическая энергия тела.
Вычислим теперь сумму работ внешних сил.
Работа силы тяжести равна нулю A(P) = 0, поскольку: сила тяжести является консервативной силой и в конечном положении тело возвращается в исходную точку траектории.
Работа нормальной реакции плоскости равна нулю A(N) = 0, поскольку нормальная реакция перпендикулярна перемещению на любом участке траектории.
Работа силы трения A(F) = −F·s, где s = 2·L — пройденный телом путь,
L = h/sin α — длина наклонной плоскости. Знак « − » выбран потому, что сила трения на любом участке траектории направлена противоположно перемещению.
Согласно закону Кулона-Амонтона сила трения скольжения равна F = f·N,
где N = P·cos α — нормальная реакция плоскости.
Тогда  F = f·m·g·cos α

A(F) = −2·f·m·g·h·cos α/sin α = −2·f·m·g·h·ctg α

Закон сохранения энергии (теорема об изменении кинетической энергии) применительно к нашей задаче запишется в виде:

½·m·(v² − v₀²) = −2·f·m·g·h·ctg α

Разделим обе части равенства на ½·m > 0 и решим составленное уравнение относительно v:

v = √(v₀² − 4·f·g·h·ctg α)

Подставим численные значения:

v = √(10² − 4·0,3·9,81·1·ctg 30°) =

= √(100 − 1,2·9,81·1·√3) = 8,92 м/с

Ответ:   v = 8,92 м/с