Система уравнений с логарифмами

Решим систему уравнений с логарифмами:

{x·y² + 2·x − x² − 2·x·y = 0 {2·logₓy + logyx = 3

(1) (2)

Область допустимых значений:   x, y > 0;   x, y ≠ 1

Решим сперва уравнение (2).
Перейдём в первом слагаемом к основанию   x. Согласно свойству логарифмической функции   logₓy = 1/log_yx.

Тогда

2/log_yx + log_yx = 3 ⇒ log²_yx − 3·log_yx + 2 = (log_yx − 1)·(log_yx − 2) = 0

Уравнение имеет два решения:   log_yx = 1   и   log_yx = 2.

Потенцируя по основанию   x,   получим:   x = y   и   x = y².

Решим теперь уравнение (1) для обоих случаев с учётом области допустимых значений.

1) Первый случай (x = y).

y³ + 2·y − y² − 2·y² = y³ − 3·y² + 2·y = (y² − 3·y + 2)·y = 0

Сократим обе части уравнения на   y > 0

y² − 3·y + 2 = (y − 1)·(y − 2) = 0

Решения:   x = y = 1   и   x = y = 2

2) Второй случай (x = y²)

y⁴ + 2·y² − y⁴ − 2·y³ = 2·(y² − y³) = −2·y²·(y − 1) = 0

В области допустимых значений решений нет.

Ответ:   (x, y) = {{1; 1}, (2; 2)}.

---

©   http://5ballov.pp.ua/