Вступительный экзамен в МГУ. Геометрия

Окружность радиуса 6 проходит через вершину В треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Центр О окружности лежит на стороне АС. АО = 12, СО = 10, ∠ОВС = ∠ВСО + ∠ЕОА. В каком отношении прямая ВО делит отрезок EF? Найти радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Решение:

1) Пусть ∠ОВС = α, а ∠ВСО = β. Тогда ∠ЕОА = α - β.
Так как ОВ = OF, то ∠ОВС = ∠BFO = α. Отсюда следует, что 
∠OFC = 180° - α. А учитывая, что сумма углав треугольника = 180°,
∠FOC = 180 - (180 - α) - β = α - β.

∠FOC = ∠ЕОА

Из полученного равенства следует, что дуга КЕ равна дуге TF, но так как К и Т - несовпадающие точки одной окружности, принадлежащие одному диаметру, то КТ || EF

2) △EBF ∼ △ABC (по двум сонаправленным сторонам). А значит, EH/HF = 12/10 = 6/5

3) Пусть коэффициент подобия равен n. Тогда мы можем записать:

ЕН = 12·n, HF = 10·n, BH = 6·n

Продолжим радиус ВО до диаметра, который равен 12 и запишем по формуле произведения отрезков хорд следующее равенство:
ЕН·HF = BH·(12 - BH)
120·n² = 72·n - 36·n²
n = 72/156 = 6/13

Данная окружность с центром О описана вокруг треугольника EBF. Из подобия следует, что:
6/R = 6/13
R = 13

Ответ: 6 : 5 и 13