Интегрирование иррациональных выражений. Тригонометрическая подстановка

Вычислить неопределённый интеграл   I = ∫x·dx/√(x² + 2·x + 5)

Найдём сперва производную подкоренного выражения и выделим её в числителе:

(x² + 2·x + 5)′ = 2·x + 2 = 2·(x + 1) ⇒ x = ½ (x² + 2·x + 5)′ − 1

Тогда   I = ½ ∫(x² + 2·x + 5)′·dx/√(x² + 2·x + 5) − ∫dx/√(x² + 2·x + 5) =

= ½ ∫d(x² + 2·x + 5)/√(x² + 2·x + 5) − I₁ = √(x² + 2·x + 5) − I₁,

где   I₁ = ∫dx/√(x² + 2·x + 5)

Интеграл   I₁   вычислим отдельно.

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

x² + 2·x + 5 = (x + 1)² + 4 = (x + 1)² + 2²

Тогда   I₁ = ∫dx/√(x² + 2·x + 5) = ∫d(x + 1)/√((x + 1)² + 2²)

Приме́ним тригонометрическую подстановку   x + 1 = 2·tg t;   d(x + 1) = 2·dt/cos²t;

1/√((x + 1)² + 2²) = 1/√((2·tg t)² + 2²) = 1/(2·√(tg²t + 1)) = ½ cos t

I₁ = ∫dt/cos t = ∫cos t·dt/cos²t

Используем основное тригонометрическое тождество и внесём   sin t   под знак дифференциала:

I₁ = ∫d(sin t)/(1 − sin²t) = ∫d(sin t)/((1 − sin t)·(1 + sin t)) =

= ½ ∫(1/(1 + sin t) − 1/(sin t − 1))·d(sin t) = ½ ln|4·(1 + sin t)/(1 − sin t)| − C =

= ½ ln|4·(sin t + 1)²/(1 − sin²t)| − C = ln|2·(sin t + 1)/cos t| − C =

= ln|2·tg t + 2/cos t| − C = ln(x + 1 + √(x² + 2·x + 5)) − C

I = √(x² + 2·x + 5) − I₁ = √(x² + 2·x + 5) − ln(x + 1 + √(x² + 2·x + 5)) + C

Окончательно:   I = √(x² + 2·x + 5) − ln(x + 1 + √(x² + 2·x + 5)) + C

---

©   http://5ballov.pp.ua/