ЕГЭ по математике. С6. Решить в натуральных числах 2^m − 3^n = 1

ЕГЭ по математике не за горами, пора начинать повторять… Ну, или учиться решать С6 — чаще всего это задачи на делимость чисел. Рассмотрим одно из таких заданий

---

Найдите все пары натуральных чисел m и n, удовлетворяющих уравнению:
2^m − 3ⁿ = 1


Решение:
Рассмотрим делимость 3ⁿ + 1 на 8 для чётного или нечётного n.
1) n = 2·k; k ∈ ℕ; Тогда:

3^2·k + 1 = 8·h + R, где {h, R} ∈ ℕ, 0 ≤ R ≤ 7; h > 0

R — остаток от деления на 8, h — целая часть.

9^k + 1 = 8·h + R
[9^k + (1 − R)] кратно 8

Используя метод математической индукции, определим R и докажем, что при любом k будет такой остаток.

База индукции: при k = 1, (10 − R) кратно 8. Отсюда предположим, что R = 2. База тогда верна.
Шаг индукции: пусть для k = а число (9^a − 1) кратно 8. Докажем, что 9^{a + 1} − 1 также кратно 8:
(9^{a + 1} − 1) − (9^a − 1) = 9^{a + 1} − 9^a = 9^a·(9 − 1) = 8·9^a кратно 8.
Отсюда следует, что   (9^a+1 − 1) кратно 8.
Итак, при чётном n   3ⁿ + 1 при делении на 8 даёт всегда остаток 2

2) n = 2·k − 1; k ∈ ℕ; Тогда:

3^{2·k − 1} + 1 = 8·h + R, где {h, R} ∈ ℕ; 0 ≤ R ≤ 7, h > 0
3^{2·k − 1} + (1 − R) кратно 8

И вновь метод математической индукции:

База индукции: k = 1; (4 − R) кратно 8. Отсюда предположим, что R = 4. База тогда верна.
Шаг индукции: пусть для k = а число (3^{2·a − 1} − 3) кратно 8. Докажем, что 3^{2·(a + 1) − 1} − 3 также кратно 8.
(3^{2·a − 1} − 3) − (3^{2·a + 1} − 3) = 3^{2·a − 1} − 3^{2·a + 1} = 3^{2·a − 1}·(9 − 1) = 8·3^{2·a + 1} кратно 8.
Отсюда следует, что   (3^{2·(a + 1) − 1} − 3) кратно 8
Итак, при нечётном n   3ⁿ + 1 при делении на 8 даёт всегда остаток 4.

Вернёмся к уравнению. 2^m = 1 + 3ⁿ. Так как при любом n правая часть не кратна 8, то m меньше 3
1) m = 2;   3ⁿ = 3; n = 1
2) m = 1. Тогда 3ⁿ = 1;   n = 0. Но числа m и n — натуральные, поэтому не подходит.

Ответ: n = 1, m = 2