Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

понедельник, 7 июня 2010 г.

ЕГЭ математика. С6. Наименьшая и наибольшая сумма

Итак, наверное это можно назвать разбор полётов… ЕГЭ по математике написали все, хотелось бы опубликовать задание С6, до которого многие, увы, даже не дошли… Итак,

Каждое из чисел 13, 14, 15, … , 21 умножают на каждое из чисел 1, 2, 3, … , 6. Перед каждым из получившихся произведений ставят роизвольно знак плюс или знак минус. Какую наименьшую и наибольшую сумму по модулю можно получить в итоге?

Решение

1) Очевидно, что наибольшая сумма будет тогда, когда перед каждым произведением будет стоять знак плюс. Разложим сумму произведений на множители:

1·(13 + 14 + … + 21) + 2·(13 + 14 + … + 21) + … + 6·(13 + 14 + … + 21) =
= (1 + 2 + … + 6)·(13 + 14 + … + 21) = А


В каждой скобке — сумма арифметической прогрессии. Для простоты счёта применим формулу суммы:

А = ½ ·(2 + 1·(6 − 1))·6· ½ ·(13·2 + 1·(9 − 1))·9 = 21·153 = 3213

2) Для того, чтобы найти наименьшее значение, оставим точно такое же резложение по скобкам, только перед каждым числом будет стоять произвольный знак:

(±1 ± 2 ± … ± 6)·(±13 ± 14 ± … ± 21)

Так как мы оперируем с целыми числами, в каждой скобке может получиться только целое число. Посмотрим, может ли получиться 0.

Возьмём произвольную группу чисел (без нулей) и расставим перед числами знаки плюс и минус таким образом, что в сумме все числа дадут ноль. Пусть тогда сумма всех отрицательных чисел равна а, а всех положительных — в. Значит, а + в = 0, а = −в, а отсюда следует, что |a| = |в|. Если же перед всеми числами группы поставить знак плюс и сложить, то мы получим сумму, равную |а| + |в| = 2·|a|. Эта сумма чётная.

Вернёмся к нашему случаю. Обе суммы в скобках — нечётные. Поэтому 0 получить не можем.

Следующее целое число — это 1. И действительно, в каждой скобке мы можем получить единицу:

−1+ 2 + 3 − 4 − 5 + 6 = 1
13 + 14 + 15 + 16 + 17 − 18 − 19 − 20 − 21 = 1


Итак, наименьшее возможное число — это 1·1 = 1.

Ответ: 3213 и 1

Комментариев нет:

Отправить комментарий