Итак, наверное это можно назвать разбор полётов… ЕГЭ по математике написали все, хотелось бы опубликовать задание С6, до которого многие, увы, даже не дошли… Итак,
Каждое из чисел 13, 14, 15, … , 21 умножают на каждое из чисел 1, 2, 3, … , 6. Перед каждым из получившихся произведений ставят роизвольно знак плюс или знак минус. Какую наименьшую и наибольшую сумму по модулю можно получить в итоге?
Решение
1) Очевидно, что наибольшая сумма будет тогда, когда перед каждым произведением будет стоять знак плюс. Разложим сумму произведений на множители:
1·(13 + 14 + … + 21) + 2·(13 + 14 + … + 21) + … + 6·(13 + 14 + … + 21) =
= (1 + 2 + … + 6)·(13 + 14 + … + 21) = А
В каждой скобке — сумма арифметической прогрессии. Для простоты счёта применим формулу суммы:
А = ½ ·(2 + 1·(6 − 1))·6· ½ ·(13·2 + 1·(9 − 1))·9 = 21·153 = 3213
2) Для того, чтобы найти наименьшее значение, оставим точно такое же резложение по скобкам, только перед каждым числом будет стоять произвольный знак:
(±1 ± 2 ± … ± 6)·(±13 ± 14 ± … ± 21)
Так как мы оперируем с целыми числами, в каждой скобке может получиться только целое число. Посмотрим, может ли получиться 0.
Возьмём произвольную группу чисел (без нулей) и расставим перед числами знаки плюс и минус таким образом, что в сумме все числа дадут ноль. Пусть тогда сумма всех отрицательных чисел равна а, а всех положительных — в. Значит, а + в = 0, а = −в, а отсюда следует, что |a| = |в|. Если же перед всеми числами группы поставить знак плюс и сложить, то мы получим сумму, равную |а| + |в| = 2·|a|. Эта сумма чётная.
Вернёмся к нашему случаю. Обе суммы в скобках — нечётные. Поэтому 0 получить не можем.
Следующее целое число — это 1. И действительно, в каждой скобке мы можем получить единицу:
−1+ 2 + 3 − 4 − 5 + 6 = 1
13 + 14 + 15 + 16 + 17 − 18 − 19 − 20 − 21 = 1
Итак, наименьшее возможное число — это 1·1 = 1.
Ответ: 3213 и 1
Комментариев нет:
Отправить комментарий