Вступительный в МГУ. Экзамен по математике.2

Итак, готовимся дальше к поступлению в МГУ...

Найти все функции f, удовлетворяющие уравнению
f(x) + (x − 2)·f(1) + 3·f(0) = x³ + 2

Решение:
Видно, что максимальная степень функции — это 3, причём перед главным членом стоит коэффициент 1. Поэтому если а, b, c — некоторые коэффициенты, то:
f(x) = x³ + а·x² + b·x + c

Подставим в уравнение:

x³ + а·x² + b·x + c + (x − 2)·(a + b + c) + 3·c =
= x³ + а·x² + (a + 2·b + c)·x − 2·(a + b − c + 1)
x³ + а·x² + (a + 2·b + c + 1)·x - 2·(a + b − c + 1) = x³ + 2

Коэффициенты должны соответствовать друг другу в левой и правой частях уравнения, поэтому:

{a = 0
{a + 2·b + c + 1 = 0
{a + b − c + 1 = -1

{2·b + c = 0
{b − c + 1 = −1

3·b + 2 = −1
b = −1

c = 1

Ответ: f(x) = x³ − x + 1