Вступительный в МГУ. Экзамен по математике

Итак, школьные экзамены позади, пора и готовиться к поступлению в ВУЗы. Во многих престижных ВУЗах страны сейчас введены вступительные письменные испытания по профильным предметам, в том числе по математике на экономичком и механико-математическом факультете МГУ. Займёмся разбором некоторых задач из экзаменов прошлых лет.

Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок делится высотой треугольника, проведённой к основанию, в отношении 4 : 3, считая от вершины. Найти площадь треугольника.


Решение:
В силу симметрии можем утверждать, что центр окружности О лежит в середине основания треугольника АС. Пусть точки касания — это Р и Н соответственно. РС ∩ ВО = М (см. рисунок). РО и ОН — радиусы окружности. РО = ОН = 2

По теореме о пропорциональных отрезках:
СМ/MP = (CO/OA)·(1 + AP/PB)
Отсюда получаем, что:
AP/PB = 4/3 − 1 = 1/3

Заметим, что △АРО ∼ △РВО. Пусть АР = х. Тогда:
х/PO = PO/3х → 3х² = 4 → х = 2/√3

S_△ABC = 2·S_△ABO = 2·(0,5)·2·4·x = 16/√3

Ответ: 16/√3