Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

суббота, 5 июня 2010 г.

ЕГЭ по математике. С6. Решить в натуральных числах 2^m − 3^n = 1

ЕГЭ по математике не за горами, пора начинать повторять… Ну, или учиться решать С6 — чаще всего это задачи на делимость чисел. Рассмотрим одно из таких заданий


Найдите все пары натуральных чисел m и n, удовлетворяющих уравнению:
2m − 3n = 1



Решение:
Рассмотрим делимость 3n + 1 на 8 для чётного или нечётного n.
1) n = 2·k; k ∈ ℕ; Тогда:

32·k + 1 = 8·h + R, где {h, R} ∈ ℕ, 0 ≤ R ≤ 7; h > 0
R — остаток от деления на 8, h — целая часть.
9k + 1 = 8·h + R
[9k + (1 − R)]
кратно 8

Используя метод математической индукции, определим R и докажем, что при любом k будет такой остаток.

База индукции: при k = 1, (10 − R) кратно 8. Отсюда предположим, что R = 2. База тогда верна.
Шаг индукции: пусть для k = а число (9a − 1) кратно 8. Докажем, что 9a + 1 − 1 также кратно 8:
(9a + 1 − 1) − (9a − 1) = 9a + 1 − 9a = 9a·(9 − 1) = 8·9a кратно 8.
Отсюда следует, что   (9a+1 − 1) кратно 8.
Итак, при чётном n   3n + 1 при делении на 8 даёт всегда остаток 2

2) n = 2·k − 1; k ∈ ℕ; Тогда:


32·k − 1 + 1 = 8·h + R, где {h, R} ∈ ℕ; 0 ≤ R ≤ 7, h > 0
32·k − 1 + (1 − R)
кратно 8

И вновь метод математической индукции:

База индукции: k = 1; (4 − R) кратно 8. Отсюда предположим, что R = 4. База тогда верна.
Шаг индукции: пусть для k = а число (32·a − 1 − 3) кратно 8. Докажем, что 32·(a + 1) − 1 − 3 также кратно 8.
(32·a − 1 − 3) − (32·a + 1 − 3) = 32·a − 1 − 32·a + 1 = 32·a − 1·(9 − 1) = 8·32·a + 1 кратно 8.
Отсюда следует, что   (32·(a + 1) − 1 − 3) кратно 8
Итак, при нечётном n   3n + 1 при делении на 8 даёт всегда остаток 4.

Вернёмся к уравнению. 2m = 1 + 3n. Так как при любом n правая часть не кратна 8, то m меньше 3
1) m = 2;   3n = 3; n = 1
2) m = 1. Тогда 3n = 1;   n = 0. Но числа m и n — натуральные, поэтому не подходит.

Ответ: n = 1, m = 2

2 комментария:

  1. все это
    херня

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Лично мне данное решение помогло при поступлении и сдаче ЕГЭ))

      Удалить