Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

суббота, 12 июня 2010 г.

Правильная пирамида. Плоскость делит высоту в отношении…

Через ребро основания правильной четырёхугольной пирамиды проведена плоскость, которая делит площадь боковой поверхности пирамиды пополам. В каком отношении, считая от вершины, проведённая плоскость делит высоту пирамиды…?


Решение:

геометрия, отношение отрезков, пирамида, стереометрия, теорема Фалеса
Обратим внимание на рисунок. SK — высота пирамиды, SH — медиана и высота в равнобедренном треугольнике △ASD, MP || SH

SHK ∩ ABNM = EO → EO || HK || MN


Так как пирамида правильная и прямая, то площади всех боковых граней равны. Пусть для определённости каждая из них равна 1. Также обозначим отрезки SN = x и NC = y.

1) Так как △SMN ∼ △SDC, то S△SMN/S△CSD = k² = (x/(x + y))²

2) Так как △MPD ∼ △SHD, то MP/SH = y/(x + y) = S△AMD/S△ASD (треугольники имеют одно и то же основание)

По условию:
S△ASB + 2·S△ASM + S△SMN = 2·S△AMD + SMNCD

Подставим отношения через х и у:
1 + 2·(1 - y/(x + y)) + (x/(x + y))² = 2·(y/(x + y)) + (1 - (x/(x + y))²)
2·(x/(x + y))² - 4·(y/(x + y)) + 2 = 0


Домножим на (х + у)² и поделим на 2:
x² - 2y·(x + y) + (x + y)²
2·x² - 2y·x + 2y·x - 2·y² + y² = 0
2·x^2 = y²
x/y = 1/√2


Рассмотрим △ASD. По теореме о пропорциональных отрезках:
SE/EH = (x/y)·(1 + DH/HA)

Но DH = HA, поэтому SE/EH = 2/√2 = √2

Так как EO || HK по теореме Фалеса можем записать:
SO/OK = SE/EH = √2

Ответ: √2

Комментариев нет:

Отправить комментарий