Правильная пирамида. Плоскость делит высоту в отношении…

Через ребро основания правильной четырёхугольной пирамиды проведена плоскость, которая делит площадь боковой поверхности пирамиды пополам. В каком отношении, считая от вершины, проведённая плоскость делит высоту пирамиды…?


Решение:

Обратим внимание на рисунок. SK — высота пирамиды, SH — медиана и высота в равнобедренном треугольнике △ASD, MP || SH

SHK ∩ ABNM = EO → EO || HK || MN

Так как пирамида правильная и прямая, то площади всех боковых граней равны. Пусть для определённости каждая из них равна 1. Также обозначим отрезки SN = x и NC = y.

1) Так как △SMN ∼ △SDC, то S_△SMN/S_△CSD = k² = (x/(x + y))²

2) Так как △MPD ∼ △SHD, то MP/SH = y/(x + y) = S_△AMD/S_△ASD (треугольники имеют одно и то же основание)

По условию:
S_△ASB + 2·S_△ASM + S_△SMN = 2·S_△AMD + S_MNCD

Подставим отношения через х и у:
1 + 2·(1 - y/(x + y)) + (x/(x + y))² = 2·(y/(x + y)) + (1 - (x/(x + y))²)
2·(x/(x + y))² - 4·(y/(x + y)) + 2 = 0

Домножим на (х + у)² и поделим на 2:
x² - 2y·(x + y) + (x + y)²
2·x² - 2y·x + 2y·x - 2·y² + y² = 0
2·x^2 = y²
x/y = 1/√2

Рассмотрим △ASD. По теореме о пропорциональных отрезках:
SE/EH = (x/y)·(1 + DH/HA)

Но DH = HA, поэтому SE/EH = 2/√2 = √2

Так как EO || HK по теореме Фалеса можем записать:
SO/OK = SE/EH = √2

Ответ: √2

©   http://5ballov.pp.ua/