Задача на построение по геометрии

Параллельно основаниям трапеции проведите прямую, отрезок которой заключенный внутри трапеции делился бы ее диагоналями на три равные части.


Решение

Это прямая, проходящая через точки Н и Е. Докажем это.

1) Проведём прямые ВО || CD и СО₁ || AB. Докажем, что точки О и О₁ совпадают в точке О. Приведём векторное доказательство (ниже векторы):
ВО + О₁С = ВС
ВО = ВА + АО
О₁С = О₁D + DC
BA + AO + О₁D + DC = BC
AO + О₁D = BC − DC − BA = BC + AB + CD = AD
Чтобы равенство выполнялось, точки О и О₁ должны совпадать. Доказано.

2) Н и Е — точки пересечения диагоналей соответственно в параллелограммах АВСО и BCDO. Поэтому ВН = НО, а СЕ = ЕО. Из этого следует, что НЕ — средняя линия треугольника ВСО, и поэтому НЕ || BC.

3) Докажем равенство некоторых треугольников:
∠АВО = ∠ВОА как накрест лежащие
∠ВНР = ∠ОНЕ как вертикальные
ВН = НО
Значит, △ВНР = △НЕО по стороне и двум прилежащим к ней углам. А отсюда следует, что РН = НЕ

∠OCD = ∠COB как накрест лежащие
∠HEO = ∠CET как вертикальные
CE = EО
Значит, △CET = △НЕО по стороне и двум прилежащим к ней углам. А отсюда следует, что ET = НЕ

Получили, что РН = ЕН = ЕТ, что и требовалось доказать

©   http://5ballov.pp.ua/