Схема урн. Извлечения без возвращения

В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Два игрока вынимают из урна поочередно шары, не возвращая их обратно. Выиграет тот, кто раньше извлечет белый шар. Найти вероятность того, что выиграет начинающий.

Введём обозначения событий:

• A = {выиграл первый игрок};
• B = {выиграл второй игрок}

Пронумеруем извлекаемые из урны наудачу шары. Иными словами — составим из извлечённых шаров упорядоченное множество.
Белый шар может впервые встретиться в составленном нами множестве под номером от 1 до 4. Действительно, в крайнем случае все 3 чёрных шара займут первые места.
Первый игрок выигрывает в случае, если впервые белый шар встретится под номерами 1 или 3, второй игрок — при извлечении первого белого шара под номерами 2 или 4.
Задачу можно решить с применением комбинаторной формулы размещений. Я же для лучшего усвоения студентами учебного материала по теории вероятностей опишу пространство событий подробно.

• Вероятность извлечь белый шар первым   P(1) = 2/5.
• Вероятность извлечь белый шар вторым (при условии, что первым извлечён чёрный шар)   P(2) = (3·2)/(5·4) = 3/10.
• Третьим белый шар будет извлечён (при условии извлечения первыми двух чёрных шаров) с вероятностью   P(3) = (3·2·2)/(5·4·3) = 1/5.
• И наконец, четвёртым впервые будет извлечён белый шар при условии извлечения первыми тремя чёрных шаров. Вероятность этого события
  P(4) = (3·2·1)/(5·4·3) = 1/10.

Вычислим искомые вероятности:

• P(A) = P(1) + P(3) = 2/5 + 1/5 = 3/5;
• P(B) = P(2) + P(4) = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5

Сумма найденных вероятностей равна единице.

---

©   http://5ballov.pp.ua/