Однородное дифференциальное уравнение

Рассмотрим и решим однородное дифференциальное уравнение

(x + √(x² + y²))·y′ = y

Нетрудно заметить, что   y ≡ 0   является тривиальным решением дифференциального уравнения. Будем искать нетривиальное решение.

Разделим обе части уравнения на   y   и запишем решение относительно   dx/dy = 1/y′:

dx/dy = x/y + √((x/y)² + 1)   ⇒   dx/dy − x/y = √((x/y)² + 1)

Применим подстановку   x = t·y. Тогда   dx/dy − x/y = y·dt/dy + t − t = y·dt/dy

Исходное уравнение запишется в виде:   y·dt/dy = √(t² + 1)

Разделим переменные и проинтегрируем:   dt/√(t² + 1) = dy/y

∫dt/√(t² + 1) = ∫dy/y   ⇒   ln(t + √(t² + 1)) = ln|y/C|

Потенцируем:   t + √(t² + 1) = y/C

Домножим теперь обе части уравнения на   y,   учитывая, что t·y = x:

x + √(x² + y²) = y²/C

Избавимся от иррациональности в последнем уравнении.

C·√(x² + y²) = y² − C·x

Возведём обе части в квадрат и приведём подобные слагаемые:

C²·x² + C²·y² = C²·x² − 2·C·x·y² + y⁴   ⇒   y⁴ = (2·C·x + C²)·y²   ⇒   y² = 2·C·x + C²

x = (y² − C²)/(2·C) — общее решение дифференциального уравнения

---

©   http://5ballov.pp.ua/