Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

пятница, 15 октября 2010 г.

Дифференциальное уравнение второго порядка

Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка
2·(y′)² = y″·(y − 1)   при начальных условиях:   x₀ = 1;   y₀ = 2;   y₀′ = 1

Перенесём все неизвестные в одну часть уравнения:   y″·(y − 1) − 2·(y′)² = 0

Применять способы понижения порядка дифференциального уравнения в данном случае необходимости нет. Разделим обе части уравнения на   (y − 1)³ ≠ 0   и примем во внимание, что   (y − 1)′ = y′:

(y″·(y − 1) − 2·y′·(y − 1)′)/(y − 1)³ = 0

В левой части уравнения — производная частного:   (y′/(y − 1)²)′ = 0

Интегрируя с учётом начальных условий, получим:

y′/(y − 1)² = y₀′/(y₀ − 1)² = 1/(2 − 1)² = 1

Разделим переменные и повторно проинтегрируем с учётом начальных условий:

dy/(y − 1)² = dx ⇒ 1/(y₀ − 1) − 1/(y − 1) = x − x₀ ⇒ 1/(2 − 1) − 1/(y − 1) = x − 1

Решим полученное равенство относительно   y:

1/(y − 1) = 2 − x = −(x − 2) ⇒ y − 1 = −1/(x − 2) ⇒ y = 1 − 1/(x − 2) = (x − 3)/(x − 2)

Частное решение дифференциального уравнения:   y = (x − 3)/(x − 2)

Комментариев нет:

Отправить комментарий