Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка
2·(y′)² = y″·(y − 1) при начальных условиях: x₀ = 1; y₀ = 2; y₀′ = 1
Перенесём все неизвестные в одну часть уравнения: y″·(y − 1) − 2·(y′)² = 0
Применять способы понижения порядка дифференциального уравнения в данном случае необходимости нет. Разделим обе части уравнения на (y − 1)³ ≠ 0 и примем во внимание, что (y − 1)′ = y′:
(y″·(y − 1) − 2·y′·(y − 1)′)/(y − 1)³ = 0
В левой части уравнения — производная частного: (y′/(y − 1)²)′ = 0
Интегрируя с учётом начальных условий, получим:
y′/(y − 1)² = y₀′/(y₀ − 1)² = 1/(2 − 1)² = 1
Разделим переменные и повторно проинтегрируем с учётом начальных условий:
dy/(y − 1)² = dx ⇒ 1/(y₀ − 1) − 1/(y − 1) = x − x₀ ⇒ 1/(2 − 1) − 1/(y − 1) = x − 1
Решим полученное равенство относительно y:
1/(y − 1) = 2 − x = −(x − 2) ⇒ y − 1 = −1/(x − 2) ⇒ y = 1 − 1/(x − 2) = (x − 3)/(x − 2)
Частное решение дифференциального уравнения: y = (x − 3)/(x − 2)
Комментариев нет:
Отправить комментарий