Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

четверг, 21 октября 2010 г.

Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка

Найти частное решение дифференциального уравнения   y″·(1 + y) = 5·(y′)², удовлетворяющее начальным условиям:   y(0) = 0;   y′(0) = 1

Заданное уравнение не содержит в явном виде переменной   x.

Приме́ним подстановку   y′ = dy/dx = p(y). Начальные условия:   p(0) = 1.

Тогда   y″ = dp/dx = dy/dx · dp/dy = p· dp/dy.

Исходное уравнение запишется в виде:   (y + 1)·p· dp/dy = 5·p²

Сократим обе части уравнения на   p ≠ 0 (согласно начальным условиям):

(y + 1)·dp/dy = 5·p

Теперь разделим переменные и проинтегрируем с учётом начальных условий:

dp/p = 5·dy/(y + 1)

py
∫dp/p = ∫dy/(y + 1)   ⇒   ln|p/1| = 5·ln|(y + 1)/(0 + 1)|   ⇒   ln|p| = 5·ln|y + 1|
10

Потенцируем:   p = dy/dx = (y + 1)⁵

Снова разделим переменные и проинтегрируем с учётом начальных условий:

4·dy/(y + 1)⁵ = 4·dx

yx
∫4·dy/(y + 1)⁵ = 4·∫dx   ⇒   1/(0 + 1)⁴ − 1/(y + 1)⁴ = 4·(x − 0)   ⇒   1/(y + 1)⁴ = 1 − 4·x
00

(y + 1)⁴·(1 − 4·x) = 1 — частный интеграл дифференциального уравнения

Комментариев нет:

Отправить комментарий