Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка

Найти частное решение дифференциального уравнения   y″·(1 + y) = 5·(y′)², удовлетворяющее начальным условиям:   y(0) = 0;   y′(0) = 1

Заданное уравнение не содержит в явном виде переменной   x.

Приме́ним подстановку   y′ = dy/dx = p(y). Начальные условия:   p(0) = 1.

Тогда   y″ = dp/dx = dy/dx · dp/dy = p· dp/dy.

Исходное уравнение запишется в виде:   (y + 1)·p· dp/dy = 5·p²

Сократим обе части уравнения на   p ≠ 0 (согласно начальным условиям):

(y + 1)·dp/dy = 5·p

Теперь разделим переменные и проинтегрируем с учётом начальных условий:

dp/p = 5·dy/(y + 1)

p	y
∫dp/p =	∫dy/(y + 1)   ⇒   ln|p/1| = 5·ln|(y + 1)/(0 + 1)|   ⇒   ln|p| = 5·ln|y + 1|
1	0

Потенцируем:   p = dy/dx = (y + 1)⁵

Снова разделим переменные и проинтегрируем с учётом начальных условий:

4·dy/(y + 1)⁵ = 4·dx

y	x
∫4·dy/(y + 1)⁵ = 4·	∫dx   ⇒   1/(0 + 1)⁴ − 1/(y + 1)⁴ = 4·(x − 0)   ⇒   1/(y + 1)⁴ = 1 − 4·x
0	0

(y + 1)⁴·(1 − 4·x) = 1 — частный интеграл дифференциального уравнения

---

©   http://5ballov.pp.ua/