Интегрирование рациональных дробей

Найти неопределённый интеграл   I = ∫(x² + 1)·dx/(x·(x² + 4))

В подынтегральной рациональной функции   ƒ(x) = (x² + 1)/(x·(x² + 4)) степень числителя ниже степени знаменателя. Перед разложением дроби в сумму элементарных дробей методом неопределённых коэффициентов Лагранжа примем во внимание особенность подынтегральной функции: она — нечётная. Это значит, что её разложение также будет содержать лишь нечётные слагаемые.
Пусть   ƒ(x) = (x² + 1)/(x·(x² + 4)) = A/x + B·x/(x² + 4)
Приведём слагаемые к общему знаменателю и приравняем числители:
A·(x² + 4) + B·x² = (A + B)·x² + 4·A = x² + 1
Приравнивая коэффициенты перед равными степенями переменной, получим:

{4·A = 1 {A + B = 1

⇒

{A = ¼ {B = ¾

Тогда   ƒ(x) = ¼ (1/x + 3·x/(x² + 4))
I = ¼ ∫dx/x + ¾ ∫x·dx/(x² + 4) = ¼ ln|x| + I₁
Приме́ним подстановку   t = x² + 4 ⇒ dt = 2·x·dx
I₁ = ¾ ∫x·dx/(x² + 4) = ³/₈ ∫dt/t = ³/₈ ln t = ³/₈ ln(x² + 4) + ¼ ln|C|
I = ¼ ln|x| + ¼ ln|C| + ³/₈ ln(x² + 4) = ¼ ln|C·x| + ³/₈ ln(x² + 4)
Окончательно:   I = ¼ ln|C·x| + ³/₈ ln(x² + 4)

---

©   http://5ballov.pp.ua/