Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

среда, 22 сентября 2010 г.

Сумма бесконечного степенного ряда

Найти сумму бесконечного степенного ряда   алгебра, контрольные на заказ, математика, математический анализ, ряды

Начнём с определения области сходимости ряда.
Общий член исследуемого степенного ряда выражается формулой:
aռ = xⁿ/(n·(n + 1)) = bռ·xⁿ, где   bռ = 1/(n·(n + 1))
Радиус сходимости ряда найдём с помощью радикального признака Коши:
алгебра, контрольные на заказ, математика, математический анализ, ряды
|x| < 1 — интервал сходимости ряда. На концах интервала (при x = ±1) ряд сходится абсолютно одновременно с рядом Дирихле 1/n² согласно признаку сравнения Вейерштрасса.
|x| ≤ 1 — область сходимости исследуемого ряда.
Перейдём теперь к вычислению суммы ряда.
Разложим дробь в сумму элементарных дробей:
xⁿ/(n·(n + 1)) = xⁿ/n − xⁿ/(n + 1) = xⁿ/n − ¹/ₓ · xⁿ⁺¹/(n + 1)

Тогда

алгебра, контрольные на заказ, математика, математический анализ, ряды

Cумму S₁ найдём следующим образом: продифференцируем ряд почленно, просуммируем, а затем проинтегрируем в пределах от 0 до x.

алгебра, контрольные на заказ, математика, математический анализ, ряды

При нахождении суммы использована формула суммы сходящейся геометрической прогрессии.
Проинтегрируем теперь в пределах от 0 до x:

алгебра, контрольные на заказ, математика, математический анализ, ряды

Получим:   S = 1 + (x − 1)·S₁/x = 1 + (1 − x)·ln(1 − x)/x

Найденная функция имеет 2 особых точки в области сходимости исследуемого ряда.
При x → 0 получаем неопределённость вида [0/0]; при x → 1₋ — получаем неопределённость вида [0·∞]. Найдём пределы функции в этих точках.

алгебра, контрольные на заказ, математика, математический анализ, ряды

При нахождении пределов применено правило Лопиталя.

Для проверки вычислим сумму ряда при x = 1 непосредственно:

алгебра, контрольные на заказ, математика, математический анализ, ряды

Окончательно:   S = 1 + (1 − x)·ln(1 − x)/x



©   http://5ballov.pp.ua/

Комментариев нет:

Отправить комментарий