Построение пятиугольника по серединам его сторон

Задача: построить пятиугольник по данным серединам его сторон.

Решение: каждую задачу на построение нужно решать в 2 шага. Сначала это анализ ситуации и только потом — непосредственно построение.

Анализ
Обратим внимание на рисунок. Пусть АВСDE — пятиугольник, который нам нужно построить. Точки К, H, R, L, T — середины сторон данного пятиугольника. Точка О — середина диагонали AD пятиугольника.

Соединим все линии, которые показаны на рисунке и рассмотрим четырёхугольник ABCD. По теореме Вариньона в произвольном четырёхугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма. Поэтому KHRO — параллелограмм.

Рассмотрим теперь треугольник ADE. TL — средняя линия, которая равна половине AD, то есть   AO = OD = TL, причём AD ∥ TL.

На данном этапе анализ можно завершить и приступить к построению.

Построение.
1) Данные 5 точек обозначим произвольно как К, H, R, L, T (для определённости — в этом порядке по часовой стрелке).
2) Проведём KH, HR, TL.
3) С помощью циркуля и линейки через точку R проведём прямую α ∥ KH, а через точку К проведём прямую β ∥ HR.
4) α ∩ β = О, и по определению KHRO — параллелограмм.
5) Через точку О с помощью циркуля и линейки проводим прямую γ ∥ TL.
6) От точки О на прямой γ тложим в обе стороны 2 отрезка OA и OD, равные TL. Получили диагональ искомого пятиугольника AD.
7) Аналогичным образом построим остальные меньшие диагонали пятиугольника и получим «звезду», концы лучей которой и будут являться вершинами искомого пятиугольника.