Дифференциальное уравнение со специальной правой частью

Найдём решение дифференциального уравнения второго порядка со специальной правой частью.

y″ − 2·y′ = e²ˣ/(1 + e²ˣ)

Это дифференциальное уравнение может быть решено методом вариации произвольной постоянной. Мы же применим подстановку, понижающую порядок дифференциального уравнения и позволяющую внести его левую часть под знак дифференциала.

Домножим обе части уравнения на   e⁻²ˣ:

e⁻²ˣ·y″ − 2·e⁻²ˣ·y′ = e⁻²ˣ·y″ + (e⁻²ˣ)′·y′ = 1/(1 + e²ˣ)

В левой части уравнения после преобразования — производная произведения:

(e⁻²ˣ·y′)′ = 1/(1 + e²ˣ)

Проинтегрируем:

e⁻²ˣ·y′ = ∫dx/(1 + e²ˣ)

Прибавим к числителю подынтегральной функции и вычтем из него   e²ˣ

e⁻²ˣ·y′ = ∫(1 + e²ˣ − e²ˣ)·dx/(1 + e²ˣ) = ∫dx − ∫e²ˣ·dx/(1 + e²ˣ) = x − ∫e²ˣ·dx/(1 + e²ˣ)

Внесём теперь   1 + e²ˣ   под знак дифференциала:

e⁻²ˣ·y′ = x − ½ ∫d(1 + e²ˣ)/(1 + e²ˣ) = x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁

Домножим обе части последнего равенства на   e²ˣ   и проинтегрируем повторно.

y′ = (x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁)·e²ˣ

y = ∫(x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁)·e²ˣ·dx

Данный интеграл интегрируется по частям.

u = x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁;   dv = e²ˣ·dx

du = 1 − e²ˣ/(1 + e²ˣ) = 1/(1 + e²ˣ);   v = ½ e²ˣ

Тогда

y = ½ (x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁)·e²ˣ − ½ ∫e²ˣ·dx/(1 + e²ˣ) =

= (½ x + C₁)·e²ˣ − ¼ e²ˣ·ln(1 + e²ˣ) − ¼ ∫d(1 + e²ˣ)/(1 + e²ˣ) =

= (½ x + C₁)·e²ˣ − ¼ e²ˣ·ln(1 + e²ˣ) − ¼ ln(1 + e²ˣ) + C₂

Окончательно общее решение дифференциального уравнения

y = (½ x + C₁)·e²ˣ − ¼ (1 + e²ˣ)·ln(1 + e²ˣ) + C₂

---

Контрольные работы по математике заказать можно у нас без посредников.

©   http://5ballov.pp.ua/

Контакты и форма обратной связи:

http://5ballov.pp.ua/p/contact.html