Найдём решение дифференциального уравнения второго порядка со специальной правой частью.
y″ − 2·y′ = e²ˣ/(1 + e²ˣ)
Это дифференциальное уравнение может быть решено методом вариации произвольной постоянной. Мы же применим подстановку, понижающую порядок дифференциального уравнения и позволяющую внести его левую часть под знак дифференциала.
Домножим обе части уравнения на e⁻²ˣ:
e⁻²ˣ·y″ − 2·e⁻²ˣ·y′ = e⁻²ˣ·y″ + (e⁻²ˣ)′·y′ = 1/(1 + e²ˣ)
В левой части уравнения после преобразования — производная произведения:
(e⁻²ˣ·y′)′ = 1/(1 + e²ˣ)
Проинтегрируем:
e⁻²ˣ·y′ = ∫dx/(1 + e²ˣ)
Прибавим к числителю подынтегральной функции и вычтем из него e²ˣ
e⁻²ˣ·y′ = ∫(1 + e²ˣ − e²ˣ)·dx/(1 + e²ˣ) = ∫dx − ∫e²ˣ·dx/(1 + e²ˣ) = x − ∫e²ˣ·dx/(1 + e²ˣ)
Внесём теперь 1 + e²ˣ под знак дифференциала:
e⁻²ˣ·y′ = x − ½ ∫d(1 + e²ˣ)/(1 + e²ˣ) = x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁
Домножим обе части последнего равенства на e²ˣ и проинтегрируем повторно.
y′ = (x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁)·e²ˣ
y = ∫(x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁)·e²ˣ·dx
Данный интеграл интегрируется по частям.
u = x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁; dv = e²ˣ·dx
du = 1 − e²ˣ/(1 + e²ˣ) = 1/(1 + e²ˣ); v = ½ e²ˣ
Тогда
y = ½ (x − ½ ln(1 + e²ˣ) + 2·C₁)·e²ˣ − ½ ∫e²ˣ·dx/(1 + e²ˣ) =
= (½ x + C₁)·e²ˣ − ¼ e²ˣ·ln(1 + e²ˣ) − ¼ ∫d(1 + e²ˣ)/(1 + e²ˣ) =
= (½ x + C₁)·e²ˣ − ¼ e²ˣ·ln(1 + e²ˣ) − ¼ ln(1 + e²ˣ) + C₂
Окончательно общее решение дифференциального уравнения
y = (½ x + C₁)·e²ˣ − ¼ (1 + e²ˣ)·ln(1 + e²ˣ) + C₂
Контрольные работы по математике заказать можно у нас без посредников.
© http://5ballov.pp.ua/
Контакты и форма обратной связи:
http://5ballov.pp.ua/p/contact.html
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149
Подписаться на:
Комментарии к сообщению (Atom)
Комментариев нет:
Отправить комментарий