Дифференциальное уравнение второго порядка

Найдём общее решение дифференциального уравнения второго порядка

y″ − 6·y′ + 9·y = 3·x − 8·eˣ


Решение уравнения будем искать в виде:

y = y₀ + y₁,

где   y₀ — общее решение однородного уравнения,

y₁ — одно из частных решений неоднородного уравнения.

Характеристическое уравнение   k² − 6·k + 9 = (k − 3)² = 0

имеет двухкратный действительный корень   k₁ = k₂ = 3

Общее решение однородного уравнения   y₀ = (C₁·x + C₂)·e³ˣ

Одно из частных решений неоднородного уравнения будем искать методом неопределённых коэффициентов Лагранжа.

Пусть   y₁ = A·x + B + D·eˣ, где   A, B, D — коэффициенты, которые предстоит определить.

Дифференцируем:   y₁′ = A + D·eˣ;   y₁″ = D·eˣ

Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные слагаемые, получим:

y₁″ − 6·y₁′ + 9·y₁ = D·eˣ − 6·(A + D·eˣ) + 9·(A·x + B + D·eˣ) =

= 9·A·x + (9·B − 6·A) + 4·eˣ = 9·A·x + 3·(3·B − 2·A) + 4·D·eˣ = 3·x − 8·eˣ,

откуда   A = ⅓;   B = ²/₉;   D = −2

Одно из частных решений неоднородного уравнения

y₁ = ⅓ x + ²/₉ − 2·eˣ
22266913.35932339.1274278197.e91e118ac116cc3de12668bd22822846
Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения

y = y₀ + y₁ = ⅓ x + ²/₉ − 2·eˣ + (C₁·x + C₂)·e³ˣ

---

©   http://5ballov.pp.ua/