a = 122333444455555666666777777788888888999999999,
десятичная запись которого состоит из одной единицы, двух двоек, трёх троек, …, девяти девяток, не может быть квадратом никакого натурального числа.
Рассматриваемое натуральное число содержит
N = 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45 цифр. Но в данном случае рассматривать все цифры числа нет необходимости. Достаточно ограничиться лишь последними двумя.
Наше число — нечётное, и могло бы быть квадратом лишь нечётного числа.
Представим исходное нечётное натуральное число в виде
2·k − 1, где k — натуральное. Тогда его квадрат равен
(2·k − 1)² = 4·k² − 4·k + 1 = 4·k·(k − 1) + 1
Квадрат нечётного натурального числа при делении на 4 даёт остаток, равный только единице. Рассматриваемое же натуральное число оканчивается на 99 и при делении на 4 даёт остаток, равный 3.
Следовательно, рассматриваемое натуральное число не может быть квадратом никакого натурального числа.
Комментариев нет:
Отправить комментарий