ЕГЭ по математике. С5. Задание с параметром

И снова в ходе подготовки к ЕГЭ по математике мы обращаемся к заданию C5, которое традиционно связано с параметром. Наиболее распространённые методы его решения — это метод угловых коэффициентов и графический метод, но иногда наиболее полезной оказывается обыкновенная замена.

---

Задача
Найти все значения параметра a, при котором уравнение имеет единственное решение.

9^{х + 3·а} − 3^{х² − 4·х + 7·а} = х² − 6·х + а

---

Решение

Перенесём некоторые слагаемые в правую часть, а некоторые — в левую:

2·х + 9^{х + 3·а} = х² − 4·х + а + 3^{х² − 4·х + 7·а}

Замена:   2·у = х² − 4·х + а

Получаем:

2·х + 9^{х + 3·а} = 2·у + 3^{2·у + 6·а}
2·х + 9^{х + 3·а} = 2·у + 9^{у + 3·а}   (1)

Введём функцию ƒ(x), которая равна:

ƒ(x)=2·х + 9^{х + 3·а}

Заметим, что 2·х — функция возрастающая (линейная, знак перед х — плюс),  9^{х + 3·а} — функция возрастающая (показательная функция, в основании число, большее 1, в степени перед переменной х — знак плюс), поэтому ƒ(x) — также функция возрастающая. Известно, что каждая монотонно возрастающая функция каждое своё значение принимает только 1 раз. Поэтому из уравнения (1) можем сделать вывод, что

х = у

Тогда:

2·у = 2·х
2·х = х² − 4·х + а
х² − 6·х + а = 0

По условию задачи полученное квадратное уравнение относительно х должно иметь ровно 1 решение. Такое возможно только если в левой части уравнения стоит полный квадрат. Отсюда делаем вывод, что

а = 9

Ответ:   a = 9

©   http://5ballov.pp.ua/

замена переменных, параметр, разбор ЕГЭ по математике, репетитор в Киеве, решение ЕГЭ, С5 ЕГЭ математика