Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

понедельник, 21 ноября 2011 г.

Тригонометрическое тождество

Доказать тригонометрическое тождество

sin 8°·sin 50°·sin 58° = sin 18°·sin 24°·sin 46°

математика, тригонометрия, тождество

Эта задача обсуждалась в Живом Журнале: http://knop.livejournal.com/238792.html#comments. В частности, в обсуждениях предлагалось использовать свойство равенства нулю суммы игрек-координат всех вершин вписанного в единичную окружность правильного многоугольника (в частности, треугольника и пятиугольника). Предлагалось также использовать многочлены Чебышева. В других источниках доказательств подобных тождеств не встречалось.

Я предлагаю свой вариант решения задачи, основанный на обычных школьных формулах.

Домножим обе части тождества на 4 и применим формулу преобразования произведения синусов в сумму тригонометрических функций:

4·sin x·sin y·sin z = sin(x + y − z) + sin(y + z − x) + sin(z + x − y) − sin(x + y + z)

Применяя эту формулу, получим:

sin(8° + 50° − 58°) + sin(50° + 58° − 8°) + sin(58° + 8° − 50°) − sin(8° + 50° + 58°) =
= sin(18° + 24° − 46°) + sin(24° + 46° − 18°) + sin(46° + 18° − 24°) − sin(18° + 24° + 46°)

sin 0 + sin 100° + sin 16° − sin 116° = sin(−4°) + sin 52° + sin 40° − sin 88°

Для углов, бо́льших 90°, используем формулу приведения:   sin x = sin(180° − x).

Не забываем также о нечётности функции   sin x.

0 + sin 80° + sin 16° − sin 64° = −sin 4° + sin 52° + sin 40° − sin 88°

Переносим все слагаемые в левую часть тождества.

sin 80° + sin 16° − sin 64° + sin 4° − sin 52° − sin 40° + sin 88° = 0

Сгруппируем слагаемые:

(sin 80° − sin 40°) + sin 16° − (sin 64° − sin 4°) + (sin 88° − sin 52°) = 0

К выражениям в скобках применим формулу преобразования разности синусов в произведение тригонометрических функций.

sin x − sin y = 2·cos[½ (x + y)]·sin[½ (x − y)]

2·cos 60°·sin 20° + sin 16° − 2·cos 34°·sin 30° + 2·cos 70°·sin 18° = 0

По формуле приведения   cos 70° = sin(90° − 70°) = sin 20°;   cos 34° = sin 56°

Учитывая, что   cos 60° = sin 30° = ½, получим:

sin 20° + sin 16° − sin 56° + 2·sin 20°·sin 18° = 0


Снова группируем и применяем формулу преобразования разности синусов.

sin 20° − (sin 56° − sin 16°) + 2·sin 20°·sin 18° = 0

sin 20° − 2·cos 36°·sin 20° + 2·sin 20°·sin 18° = 0

Выносим за скобки общий множитель   sin 20°

sin 20°· [1 − 2·(cos 36° − sin 18°)] = 0

Поскольку   sin 20° ≠ 0, получаем эквивалентное исходному тождество

2·(cos 36° − sin 18°) = 1

Для доказательства последнего тождества вовсе не обязательно знать значения тригонометрических функций углов, кратных   18°, хотя и их можно найти.

Домножим обе части тождества на   cos 18° ≠ 0

2·(cos 36° − sin 18°)·cos 18° = cos 18°

По формуле преобразования произведения косинусов в сумму

2·cos 36°·cos 18° = cos(36° − 18°) + cos(36° + 18°) = cos 18° + cos 54°

По формуле синуса двойного аргумента   2·sin 18°·cos 18° = sin 36°

Получаем:   cos 18° + cos 54° − sin 36° = cos 18° ⇒ cos 54° = sin 36°

Последнее выражение справедливо в силу формул приведения. Исходное тождество доказано.

Комментарии и обсуждения приветствуются.

Публикация материалов сайта без активных, видимых для поисковых систем ссылок на главную страницу сайта и страницу материала категорически запрещена!
Информация для плагиаторов
Перед опубликованием материалы сайта отправляются в Яндекс. Полное или частичное использование материалов сайта на сервисе Ответы@mail.ru запрещено при любых обстоятельствах. При нарушении этого условия обращения в администрацию Яндекс-каталога и каталога DMOZ последуют незамедлительно без предварительной переписки со службой поддержки сервиса.

Комментариев нет:

Отправить комментарий