sin 8°·sin 50°·sin 58° = sin 18°·sin 24°·sin 46°
Эта задача обсуждалась в Живом Журнале: . В частности, в обсуждениях предлагалось использовать свойство равенства нулю суммы игрек-координат всех вершин вписанного в единичную окружность правильного многоугольника (в частности, треугольника и пятиугольника). Предлагалось также использовать многочлены Чебышева. В других источниках доказательств подобных тождеств не встречалось.
Я предлагаю свой вариант решения задачи, основанный на обычных школьных формулах.
Домножим обе части тождества на 4 и применим формулу преобразования произведения синусов в сумму тригонометрических функций:
4·sin x·sin y·sin z = sin(x + y − z) + sin(y + z − x) + sin(z + x − y) − sin(x + y + z)
Применяя эту формулу, получим:
sin(8° + 50° − 58°) + sin(50° + 58° − 8°) + sin(58° + 8° − 50°) − sin(8° + 50° + 58°) =
= sin(18° + 24° − 46°) + sin(24° + 46° − 18°) + sin(46° + 18° − 24°) − sin(18° + 24° + 46°)
sin 0 + sin 100° + sin 16° − sin 116° = sin(−4°) + sin 52° + sin 40° − sin 88°
Для углов, бо́льших 90°, используем формулу приведения: sin x = sin(180° − x).
Не забываем также о нечётности функции sin x.
0 + sin 80° + sin 16° − sin 64° = −sin 4° + sin 52° + sin 40° − sin 88°
Переносим все слагаемые в левую часть тождества.
sin 80° + sin 16° − sin 64° + sin 4° − sin 52° − sin 40° + sin 88° = 0
Сгруппируем слагаемые:
(sin 80° − sin 40°) + sin 16° − (sin 64° − sin 4°) + (sin 88° − sin 52°) = 0
К выражениям в скобках применим формулу преобразования разности синусов в произведение тригонометрических функций.
sin x − sin y = 2·cos[½ (x + y)]·sin[½ (x − y)]
2·cos 60°·sin 20° + sin 16° − 2·cos 34°·sin 30° + 2·cos 70°·sin 18° = 0
По формуле приведения cos 70° = sin(90° − 70°) = sin 20°; cos 34° = sin 56°
Учитывая, что cos 60° = sin 30° = ½, получим:
sin 20° + sin 16° − sin 56° + 2·sin 20°·sin 18° = 0
Снова группируем и применяем формулу преобразования разности синусов.
sin 20° − (sin 56° − sin 16°) + 2·sin 20°·sin 18° = 0
sin 20° − 2·cos 36°·sin 20° + 2·sin 20°·sin 18° = 0
Выносим за скобки общий множитель sin 20°
sin 20°· [1 − 2·(cos 36° − sin 18°)] = 0
Поскольку sin 20° ≠ 0, получаем эквивалентное исходному тождество
2·(cos 36° − sin 18°) = 1
Для доказательства последнего тождества вовсе не обязательно знать значения тригонометрических функций углов, кратных 18°, хотя и их можно найти.
Домножим обе части тождества на cos 18° ≠ 0
2·(cos 36° − sin 18°)·cos 18° = cos 18°
По формуле преобразования произведения косинусов в сумму
2·cos 36°·cos 18° = cos(36° − 18°) + cos(36° + 18°) = cos 18° + cos 54°
По формуле синуса двойного аргумента 2·sin 18°·cos 18° = sin 36°
Получаем: cos 18° + cos 54° − sin 36° = cos 18° ⇒ cos 54° = sin 36°
Последнее выражение справедливо в силу формул приведения. Исходное тождество доказано.
Комментарии и обсуждения приветствуются.
Публикация материалов сайта без активных, видимых для поисковых систем ссылок на главную страницу сайта и страницу материала категорически запрещена!
Информация для плагиаторов
Перед опубликованием материалы сайта отправляются в Яндекс. Полное или частичное использование материалов сайта на сервисе Ответы@mail.ru запрещено при любых обстоятельствах. При нарушении этого условия обращения в администрацию Яндекс-каталога и каталога DMOZ последуют незамедлительно без предварительной переписки со службой поддержки сервиса.
Комментариев нет:
Отправить комментарий