Рассмотрим на двух примерах решение дифференциальных уравнений высших порядков.
Проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка
2·y·y'' – (y')² + y² = 0 при начальных условиях y(1) = y'(1) = 1
Применим подстановку y' = dy/dx = p(y); p(1) = 1
Тогда y'' = d(y')/dx = dy/dx · d(y')/y = p·dp/dy = ½ d(p²)/dy
Уравнение запишется в виде: y·d(p²)/dy − p² + y² = 0
Разделим теперь уравнение на y² > 0:
(y·d(p²)/dy − p²)/y² + 1 = 0
Первое слагаемое (дробь) представляет собою производную частного. Тогда
d(p²/y)/dy + 1 = 0
Разделим переменные и проинтегрируем с учётом начальных условий: при y = 1 p²/y = 1
d(p²/y) + dy = 0 ⇒ p²/y − 1 + y − 1 = 0 ⇒ p²/y = 2 − y ⇒ p² = 2·y − y² p = dy/dx = +√(2·y − y²)
Разделим переменные и выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
dy/√(2·y − y²) = dx ⇒ dy/√(1 − (y − 1)²) = dx
Интегрируем повторно с учётом начальных условий: при x = 1 y = 1; y − 1 = 0
arcsin(y − 1) = x − 1
y = sin(x − 1) + 1 — частное решение дифференциального уравнения.
Решить дифференциальное уравнение второго порядка (x² + 1)·y'' = (y')² + 1 при начальных условиях y(1) = y'(1) = 1
Хотя данное дифференциальное уравнение и допускает понижение порядка, применять подстановку в явном виде нет необходимости.
Перепишем уравнение с учётом того, что y'' = d(y')/dx и разделим переменные:
(x² + 1)·d(y')/dx = (y')² + 1 ⇒ d(y')/((y')² + 1) = dx/(x² + 1)
Интегрируем с учётом начальных условий: при x = 1 y' = 1
arctg(y') − arctg 1 = arctg x − arctg 1 ⇒ arctg(y') = arctg x ⇒ y' = dy/dx = x
Разделим переменные и проинтегрируем повторно с учётом начальных условий:
при x = 1 y = 1
dy = x·dx ⇒ y − 1 = ½ (x² − 1²) = ½ (x² − 1)
y = ½ (x² + 1) — частное решение дифференциального уравнения
Комментариев нет:
Отправить комментарий