Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

суббота, 12 ноября 2011 г.

Решение дифференциальных уравнений высших порядков

Рассмотрим на двух примерах решение дифференциальных уравнений высших порядков.

Проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка

2·y·y'' – (y')² + y² = 0   при начальных условиях   y(1) = y'(1) = 1

Применим подстановку   y' = dy/dx = p(y);   p(1) = 1

Тогда   y'' = d(y')/dx = dy/dx · d(y')/y = p·dp/dy = ½ d(p²)/dy

Уравнение запишется в виде:   y·d(p²)/dy − p² + y² = 0

Разделим теперь уравнение на   y² > 0:

(y·d(p²)/dy − p²)/y² + 1 = 0

Первое слагаемое (дробь) представляет собою производную частного. Тогда

d(p²/y)/dy + 1 = 0

Разделим переменные и проинтегрируем с учётом начальных условий: при   y = 1   p²/y = 1

d(p²/y) + dy = 0 ⇒ p²/y − 1 + y − 1 = 0 ⇒ p²/y = 2 − y ⇒ p² = 2·y − y²   p = dy/dx = +√(2·y − y²)

Разделим переменные и выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

dy/√(2·y − y²) = dx ⇒ dy/√(1 − (y − 1)²) = dx

Интегрируем повторно с учётом начальных условий: при x = 1   y = 1;   y − 1 = 0

arcsin(y − 1) = x − 1

y = sin(x − 1) + 1 — частное решение дифференциального уравнения.

Решить дифференциальное уравнение второго порядка   (x² + 1)·y'' = (y')² + 1   при начальных условиях   y(1) = y'(1) = 1

Хотя данное дифференциальное уравнение и допускает понижение порядка, применять подстановку в явном виде нет необходимости.

Перепишем уравнение с учётом того, что   y'' = d(y')/dx   и разделим переменные:

(x² + 1)·d(y')/dx = (y')² + 1 ⇒ d(y')/((y')² + 1) = dx/(x² + 1)

Интегрируем с учётом начальных условий: при   x = 1   y' = 1

arctg(y') − arctg 1 = arctg x − arctg 1 ⇒ arctg(y') = arctg x ⇒ y' = dy/dx = x

Разделим переменные и проинтегрируем повторно с учётом начальных условий:

при   x = 1   y = 1

dy = x·dx ⇒ y − 1 = ½ (x² − 1²) = ½ (x² − 1)

y = ½ (x² + 1) — частное решение дифференциального уравнения

Комментариев нет:

Отправить комментарий