Решим более общую задачу — докажем, что для любого n сумма
S = 2·2 + 3·2² + 4·2³ + … + (n + 1)·2ⁿ делится на n.
Задачу можно попытаться решить и не находя общего выражения для суммы ряда. Буду признателен тому, кто через форму обратной связи пришлёт своё решение, основанное на методе математической индукции. Красивое и подробное решение мы обязательно опубликуем в помощь всем изучающим математику. А теперь давайте рассмотрим способы нахождения выражения суммы ряда. Например школьный способ без использования почленного интегрирования ряда.
S = 2·2¹ + 3·2² + 4·2³ + … + (n + 1)·2ⁿ
Домножим искомую сумму на 2 − 1 = 1:
S = (2 − 1)·S = 2·S − S
2·S = 2·2² + 3·2³ + 4·2⁴ + … + n·2ⁿ + (n + 1)·2ⁿ⁺¹
Вычитаем: S = (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − (2² + 2³ + … + 2ⁿ) − 2·2¹ =
= (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − (2¹ + 2² + 2³ + … + 2ⁿ) − 2 =
= (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − 2·(1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ⁻¹) − 2
Выражение в скобках представляет собою геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Формула частичной суммы геометрической прогрессии нам известна. Получаем:
S = (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − 2·(2ⁿ − 1)/(2 − 1) − 2 = (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ − 2 + 2 = n·2ⁿ⁺¹
Полученная сумма делится на n, что и требовалось доказать.
Разберём ещё одно решение задачи, основанное на методах математического анализа.
Рассмотрим сумму
Проинтегрируем ряд почленно, найдём сумму, а затем продифференцируем.
Последний ряд представляет собою геометрическую прогрессию со знаменателем x.
S₁(x) = x²·(xⁿ − 1)/(x − 1) = (xⁿ⁺² − x²)/(x − 1)
Дифференцируем
S(x) = S₁'(x) = [((n + 2)·xⁿ⁺¹ − 2·x)·(x − 1) − (xⁿ⁺² − x²)]/(x − 1)² =
= ((n + 1)·xⁿ⁺² − (n + 2)·xⁿ⁺¹ − x² + 2·x)/(x − 1)² =
= x·((n + 1)·xⁿ⁺¹ − (n + 2)·xⁿ − (x − 2))/(x − 1)²
Подставляя x = 2, получаем:
S = (2·n + 2 − (n + 2))·2ⁿ⁺¹ = n·2ⁿ⁺¹
Делимость доказана
Комментариев нет:
Отправить комментарий