Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

четверг, 24 ноября 2011 г.

Делимость суммы ряда. Олимпиадная задача

Доказать, что сумма   S = 2·2 + 3·2² + 4·2³ + … + 2012·2²⁰¹¹   делится на 2011.

алгебра, делимость, математика, математический анализ, олимпиада, ряды

Решим более общую задачу — докажем, что для любого n сумма

S = 2·2 + 3·2² + 4·2³ + … + (n + 1)·2ⁿ   делится на n.

Задачу можно попытаться решить и не находя общего выражения для суммы ряда. Буду признателен тому, кто через форму обратной связи пришлёт своё решение, основанное на методе математической индукции. Красивое и подробное решение мы обязательно опубликуем в помощь всем изучающим математику. А теперь давайте рассмотрим способы нахождения выражения суммы ряда. Например школьный способ без использования почленного интегрирования ряда.

S = 2·2¹ + 3·2² + 4·2³ + … + (n + 1)·2ⁿ

Домножим искомую сумму на   2 − 1 = 1:

S = (2 − 1)·S = 2·S − S

2·S = 2·2² + 3·2³ + 4·2⁴ + … + n·2ⁿ + (n + 1)·2ⁿ⁺¹

Вычитаем:   S = (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − (2² + 2³ + … + 2ⁿ) − 2·2¹ =

= (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − (2¹ + 2² + 2³ + … + 2ⁿ) − 2 =

= (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − 2·(1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ⁻¹) − 2

Выражение в скобках представляет собою геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Формула частичной суммы геометрической прогрессии нам известна. Получаем:

S = (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − 2·(2ⁿ − 1)/(2 − 1) − 2 = (n + 1)·2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ − 2 + 2 = n·2ⁿ⁺¹

Полученная сумма делится на n, что и требовалось доказать.

Разберём ещё одно решение задачи, основанное на методах математического анализа.

Рассмотрим сумму

алгебра, делимость, математика, математический анализ, олимпиада, ряды

Проинтегрируем ряд почленно, найдём сумму, а затем продифференцируем.

алгебра, делимость, математика, математический анализ, олимпиада, ряды

Последний ряд представляет собою геометрическую прогрессию со знаменателем   x.

S₁(x) = x²·(xⁿ − 1)/(x − 1) = (xⁿ⁺² − x²)/(x − 1)

Дифференцируем

S(x) = S₁'(x) = [((n + 2)·xⁿ⁺¹ − 2·x)·(x − 1) − (xⁿ⁺² − x²)]/(x − 1)² =

= ((n + 1)·xⁿ⁺² − (n + 2)·xⁿ⁺¹ − x² + 2·x)/(x − 1)² =

= x·((n + 1)·xⁿ⁺¹ − (n + 2)·xⁿ − (x − 2))/(x − 1)²

Подставляя   x = 2, получаем:

S = (2·n + 2 − (n + 2))·2ⁿ⁺¹ = n·2ⁿ⁺¹

Делимость доказана

Комментариев нет:

Отправить комментарий