Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

суббота, 26 ноября 2011 г.

Предел тригонометрического выражения

Найти предел тригонометрического выражения

высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия
Эта задача попалась мне на одном математическом ресурсе, причём при вычислении предела с применением и без применения правила Лопиталя получились разные результаты. Разберём, какие ошибки были допущены в решении, чтобы самим их не повторять. Ведь кто предупреждён — тот вооружён:-)

Имеет место неопределённость вида   [0 · ∞]. Перейдём к неопределённости вида   [0/0]   и приме́ним правило Лопиталя, продифференцировав числитель и знаменатель дроби.

высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия

Приведу теперь почти без правок неверное решение, найденное мною в интернете. Решение без применения правила Лопиталя. Будьте внимательны! Решение содержит ошибки, которые мы с Вами разберём и исправим.

высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия

Ошибка заключается в некорректном раскрытии (точнее будет сказать — в «нераскрытии») неопределённости вида   [0/0]. Следует учитывать, что   x   стремится к   π/2, а 5·x — к   5·π/2 с разными скоростями!

Приведу теперь правильное решение без применения правила Лопиталя.

Введём новую переменную   y = π/2 − x → 0   и используем формулы приведения.

cos x = cos(π/2 − y) = sin y

tg(5·x) = tg(5·(π/2 − y)) = tg(2·π + π/2 − 5·y) = tg(π/2 − 5·y) = ctg(5·y)

Исходный предел легко решится с помощью первого замечательного предела и следствий из него.

высшая математика, математический анализ, математика, предел функции, правило Лопиталя, тригонометрия

Ответ:   A = 1/5

Будьте внимательны при раскрытии неопределённостей — и всё у Вас получится)

Успехов!

Комментариев нет:

Отправить комментарий