
Имеет место неопределённость вида [0 · ∞]. Перейдём к неопределённости вида [0/0] и приме́ним правило Лопиталя, продифференцировав числитель и знаменатель дроби.

Приведу теперь почти без правок неверное решение, найденное мною в интернете. Решение без применения правила Лопиталя. Будьте внимательны! Решение содержит ошибки, которые мы с Вами разберём и исправим.

Ошибка заключается в некорректном раскрытии (точнее будет сказать — в «нераскрытии») неопределённости вида [0/0]. Следует учитывать, что x стремится к π/2, а 5·x — к 5·π/2 с разными скоростями!
Приведу теперь правильное решение без применения правила Лопиталя.
Введём новую переменную y = π/2 − x → 0 и используем формулы приведения.
cos x = cos(π/2 − y) = sin y
tg(5·x) = tg(5·(π/2 − y)) = tg(2·π + π/2 − 5·y) = tg(π/2 − 5·y) = ctg(5·y)
Исходный предел легко решится с помощью первого замечательного предела и следствий из него.

Ответ: A = 1/5
Будьте внимательны при раскрытии неопределённостей — и всё у Вас получится)
Успехов!
Комментариев нет:
Отправить комментарий