Предел тригонометрического выражения

Найти предел тригонометрического выражения

Эта задача попалась мне на одном математическом ресурсе, причём при вычислении предела с применением и без применения правила Лопиталя получились разные результаты. Разберём, какие ошибки были допущены в решении, чтобы самим их не повторять. Ведь кто предупреждён — тот вооружён:-)

Имеет место неопределённость вида   [0 · ∞]. Перейдём к неопределённости вида   [0/0]   и приме́ним правило Лопиталя, продифференцировав числитель и знаменатель дроби.

Приведу теперь почти без правок неверное решение, найденное мною в интернете. Решение без применения правила Лопиталя. Будьте внимательны! Решение содержит ошибки, которые мы с Вами разберём и исправим.

Ошибка заключается в некорректном раскрытии (точнее будет сказать — в «нераскрытии») неопределённости вида   [0/0]. Следует учитывать, что   x   стремится к   π/2, а 5·x — к   5·π/2 с разными скоростями!

Приведу теперь правильное решение без применения правила Лопиталя.

Введём новую переменную   y = π/2 − x → 0   и используем формулы приведения.

cos x = cos(π/2 − y) = sin y

tg(5·x) = tg(5·(π/2 − y)) = tg(2·π + π/2 − 5·y) = tg(π/2 − 5·y) = ctg(5·y)

Исходный предел легко решится с помощью первого замечательного предела и следствий из него.

Ответ:   A = 1/5

Будьте внимательны при раскрытии неопределённостей — и всё у Вас получится)

Успехов!

---

©   http://5ballov.pp.ua/