Найдём решения системы иррациональных уравнений
{√(x + y) − √(2·y − 5·x) = x
{√(x + y) + √(2·y − 5·x) = y
Сразу хочу сказать, что не существует универсальных способов решения, пригодных для любых трансцендентных и иррациональных уравнений. Одна задача отличается от другой, и от школьника и студента требуется думать и проявлять знания, опыт, интуицию, смекалку.
Обратим внимание на подкоренные выражения, коэффициенты перед радикалами и правые части уравнений.
Сложим оба уравнения системы: 2·√(x + y) = x + y.
Решим полученное уравнение относительно x + y.
x + y − 2·√(x + y) = √(x + y)·(√(x + y) − 2) = 0
Приравняем к нулю поочерёдно каждый из множителей системы.
[√(x + y) = 0
[√(x + y) − 2 = 0
⇓
[x + y = 0
[x + y = 4
Выразим y через x
[y = −x
[y = 4 − x
1. Подставим x + y = 0 (y = −x) в первое уравнение системы.
−√(−7·x) = x
Очевидно, что x ≤ 0; (√(−x))² = −x
−x − √(−7·x) = (√(−x))² − √(−x)·√7 = √(−x)·(√(−x) − √7) = 0
Снова поочерёдно приравняем к нулю каждый из множитилей.
√(−x) = 0 ⇒ x₁ = y₁ = 0
√(−x) − √7 = 0 ⇒ x₂ = −7; y₂ = 7
2. Подставим x + y = 4 (y = 4 − x) в первое уравнение системы.
2 − √(2·(4 − x) − 5·x) = 2 − √(8 − 7·x) = x
Перенесём радикал в правую часть уравнения, а x — в правую.
2 − x = √(8 − 7·x)
Определим область допустимых значений
{2 − x ≥ 0
{8 − 7·x ≥ 0
⇓
{x ≤ 2
{x ≤ 8/7
⇓
x ≤ 8/7
Возведём обе части уравнения в квадрат и решим его относительно x
x² − 4·x + 4 = 8 − 7·x ⇒ x² + 3·x − 4 = (x + 4)·(x − 1) = 0
Оба корня принадлежат области допустимых значений.
x₃ = −4; y₃ = 4 − (−4) = 8
x₄ = 1; y₄ = 4 − 1 = 3
Итого система иррациональных уравнений имеет 4 решения:
(x; y) = {(−7; 7), (−4; 8), (0; 0), (1; 3)}
Комментариев нет:
Отправить комментарий