Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

пятница, 18 ноября 2011 г.

Алгебра. Система иррациональных уравнений

Найдём решения системы иррациональных уравнений

{√(x + y) − √(2·y − 5·x) = x
{√(x + y) + √(2·y − 5·x) = y

Сразу хочу сказать, что не существует универсальных способов решения, пригодных для любых трансцендентных и иррациональных уравнений. Одна задача отличается от другой, и от школьника и студента требуется думать и проявлять знания, опыт, интуицию, смекалку.

Обратим внимание на подкоренные выражения, коэффициенты перед радикалами и правые части уравнений.

Сложим оба уравнения системы:   2·√(x + y) = x + y.

Решим полученное уравнение относительно   x + y.

x + y − 2·√(x + y) = √(x + y)·(√(x + y) − 2) = 0

Приравняем к нулю поочерёдно каждый из множителей системы.

[√(x + y) = 0
[√(x + y) − 2 = 0

[x + y = 0
[x + y = 4

Выразим   y   через   x

[y = −x
[y = 4 − x

1. Подставим   x + y = 0 (y = −x)   в первое уравнение системы.

−√(−7·x) = x

Очевидно, что   x ≤ 0;   (√(−x))² = −x

−x − √(−7·x) = (√(−x))² − √(−x)·√7 = √(−x)·(√(−x) − √7) = 0

Снова поочерёдно приравняем к нулю каждый из множитилей.

√(−x) = 0 ⇒ x₁ = y₁ = 0

√(−x) − √7 = 0 ⇒ x₂ = −7;   y₂ = 7

2. Подставим x + y = 4 (y = 4 − x) в первое уравнение системы.

2 − √(2·(4 − x) − 5·x) = 2 − √(8 − 7·x) = x

Перенесём радикал в правую часть уравнения, а   x — в правую.

2 − x = √(8 − 7·x)

Определим область допустимых значений

{2 − x ≥ 0
{8 − 7·x ≥ 0

{x ≤ 2
{x ≤ 8/7

x ≤ 8/7

Возведём обе части уравнения в квадрат и решим его относительно   x

x² − 4·x + 4 = 8 − 7·x ⇒ x² + 3·x − 4 = (x + 4)·(x − 1) = 0

Оба корня принадлежат области допустимых значений.

x₃ = −4;   y₃ = 4 − (−4) = 8
x₄ = 1;   y₄ = 4 − 1 = 3

Итого система иррациональных уравнений имеет 4 решения:

(x; y) = {(−7; 7), (−4; 8), (0; 0), (1; 3)}

Комментариев нет:

Отправить комментарий