Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка
y''·(x + cos x) − y'·(1 − sin x) = (x + cos x)²   при начальных условиях   y(0) = y'(0) = 1

Данное уравнение допускает понижения порядка: y' = p(x)   и может быть решено путём подстановки   p = u·v. Затем интеграл берётся повторно и ищутся постоянные интегрирования. Внимательный анализ конкретной задачи показывает, что она может быть решена другим, более рациональным способом.
Учитывая, что   (x + cos x)' = 1 − sin x, запишем:

y''·(x + cos x) − y'·(x + cos x) = (x + cos x)²

Разделив обе части уравнения на   (x + cos x)², получим в левой части производную частного:

(y''·(x + cos x) − y'·(x + cos x))/(x + cos x)² = 1

(y'/(x + cos x))' = 1

При   x = 0   y'/(x + cos x) = 1

Интегрируем с учётом начальных условий


y' = (x + 1)·(x + cos x)

Интегрируем повторно (по частям) с учётом начальных условий.


y = ⅓ x³ + ½ x² + (x + 1)·sin x + cos x — частное решение дифференциального уравнения.